基本情報技術者 2014年 春期 午前（科目A） 問01

2進小数の循環性判定【午前解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 与えられた小数を分数に直す（例：$0.05=5/100$）。
2. 分子・分母を既約化する（約分）。
3. 既約化した分母の素因数を調べる。
4. 分母の素因数が2のみなら2進で有限小数、2以外（例：5）が含まれていれば無限小数。
   （代替法）小数を2を掛けていき、有限回で整数になれば有限、ならなければ無限と判定できます。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0.05 = $5/100=1/20=1/(2^2\cdot 5)$。分母に5が残るため2進では無限小数です（正解）。
• イ: 0.125 = $125/1000=1/8=1/2^3$。分母は2の冪のみなので2進で有限（$0.001_2$）。
• ウ: 0.375 = $375/1000=3/8=3/2^3$。分母は2の冪のみなので2進で有限（$0.011_2$）。
• エ: 0.5 = $1/2$。明らかに分母は2の冪なので2進で有限（$0.1_2$）。

よくある誤解

• 10進で有限だから2進でも有限だと勘違いする：10進で有限でも分母に2以外の素因数（特に5）が残れば2進で無限になります。
• 既約化を忘れる：分子・分母を約分せずに判定すると誤答につながることが多いです。必ず既約分数にしてから分母の素因数を確認してください。
• 見た目の小ささで判断する：値が小さいから有限、という直感は通用しません。因数分解で決まります。

補足コラム

• 一般化：基数$b$で有限小数になる有理数は、既約分数の分母の素因数がすべて$b$の素因数に含まれるものです。10進では素因数が2と5、2進では2のみ。
• 実務的観点：多くの10進小数（例：0.1）は2進で無限小数なので、コンピュータの浮動小数点（IEEE 754）では近似表現になります。数値誤差に注意が必要です。
• 覚え方：10進小数の判定は「約分して5が残るかどうか」を見るだけでよい、という速い判定法を習得すると便利です。

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