基本情報技術者 2015年秋期午前（科目A）問23

問題文

図のNANDゲートの組合せ回路で、入力

A, B, C, D

に対する出力

X

の論理式はどれか。ここで、論理式中の・は論理積、＋は論理和を表す。

選択肢

ア：

(A + B) ・ (C + D)

イ：

A + B + C + D

ウ：

A ・ B + C ・ D

（正解）

エ：

A ・ B ・ C ・ D

NANDゲートの組合せ回路の論理式【午前2 解説】

要点まとめ

結論: 回路は上段2つのNAND出力をさらにNANDしており、出力は $A \cdot B + C \cdot D$ です。
根拠: 上段2つはそれぞれ $A \cdot B$ と $C \cdot D$ の否定 $\neg (A \cdot B), \neg (C \cdot D)$ を作り、最終NANDで否定の否定を合成します。
差がつくポイント: 出力の小さな円（バブル）は「出力の否定」を示すこと、De Morgan の法則で $\neg (\neg P \cdot \neg Q) = P + Q$ と即断できる点に注意。

正解の理由

正解: ウ（

A \cdot B + C \cdot D

）
説明：上段2つのゲートはそれぞれNANDなので出力は

\neg (A \cdot B)

と

\neg (C \cdot D)

です。これらを入力にする最終ゲートも出力にバブルがあるのでNANDです。したがって

X = \neg (\neg (A \cdot B) \cdot \neg (C \cdot D))

De Morgan の法則により右辺は

\neg (\neg P \cdot \neg Q) = P + Q

を適用して

X = A \cdot B + C \cdot D

となり、選択肢のウに一致します。

よくある誤解

「バブル＝入力の否定」と誤解してしまう：図のバブルはゲート出力の否定を示すので、出力側のバブルはNANDを意味します。
最終ゲートを単なるANDと見なす誤り：最終ゲートにも出力バブルがあるためANDではなくNANDで、論理式が逆になる点に注意。
De Morgan を使わずに直感でORとANDを混同する：否定の否定を解除する手順を確実に踏むことが重要です。

解法ステップ

上段左：出力 $P_{1} = \neg (A \cdot B)$ （NAND）と認識する。
下段左：出力 $P_{2} = \neg (C \cdot D)$ （NAND）と認識する。
中央（右側）ゲート：入力が $P_{1}, P_{2}$ で出力にバブルがあるため $X = \neg (P_{1} \cdot P_{2})$ 。
$P_{1}, P_{2}$ を代入して $X = \neg (\neg (A \cdot B) \cdot \neg (C \cdot D))$ 。
De Morgan を適用して $X = A \cdot B + C \cdot D$ と簡約する。

選択肢別の誤答解説

ア: $(A + B) \cdot (C + D)$ — これは上段がORゲートで、中央がANDの場合に対応する式。与えられた回路はNANDのみなので不適。
イ: $A + B + C + D$ — 全ての入力を単純にORした形で、回路構成（積と否定の組合せ）と一致しません。
ウ: $A \cdot B + C \cdot D$ — 正解。上段のNAND2つの否定を最終NANDで否定し直すと和（論理和）になるため一致。
エ: $A \cdot B \cdot C \cdot D$ — これは全入力のANDで、回路の実際の接続やバブルの有無と矛盾します。

補足コラム

NANDは「万能ゲート」であり、NANDの組合せで任意の論理式を構成できます。今回のように2段のNANDで

\neg (\neg P \cdot \neg Q) = P + Q

が得られるため、NANDを使ってORを実現できます。設問のパターンは「NAND→NANDでOR」になる代表例で、回路図のバブルの位置を見抜く練習に最適です。

FAQ

Q: バブルが入力側についていたらどう読む？
A: 入力側のバブルはその入力値の否定を示します。バブルの位置（入力か出力か）で意味が変わるので注意してください。

Q: 最終ゲートにバブルがなければ式はどうなる？
A: 最終ゲートがAND（バブルなし）なら出力は

\neg (A \cdot B) \cdot \neg (C \cdot D) = \neg (A \cdot B + C \cdot D)

、すなわち今回の正解の否定になります。

Q: 短時間で回路の結果を判断するコツは？
A: 「まず各ゲートの出力を記号（P,Q）で表す→否定の有無を明示→最後にDe Morganで整理」の手順を習慣化すると速く正確になります。

関連キーワード: NANDゲート、デ・モルガンの法則、ブール代数、論理回路、真理値表、論理和、論理積、論理設計

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