基本情報技術者 2015年 春期 午前（科目A） 問23

排他的論理和回路【午前解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 図のインバータ出力を式で書く：$\overline{A},\overline{B}$。
2. それらをORした中間信号を定義：$S=\overline{A}+\overline{B}$。
3. 上下のAND出力をそれぞれ表す：$A\cdot S,B\cdot S$。
4. 分配則と消去律で簡約：$A(\overline{A}+\overline{B})=A\overline{B},B(\overline{A}+\overline{B})=\overline{A}B$。
5. 最終ORで結合：$X=A\overline{B}+\overline{A}B$（XOR）。

選択肢別の誤答解説

• ア: $X=A\cdot B+\overline{A\cdot B}$
  • これは$P+\overline{P}=1$の法則で常に1になる式です。回路は入力に依存して0/1が変わるので不一致。
• イ: $X=A\cdot B+\overline{A}\cdot \overline{B}$
  • これは等価（XNOR）を表す式で、$A=B$のとき1になります。回路はA≠Bで1なので不正解。
• ウ: $X=A\cdot \overline{B}+\overline{A}\cdot B$
  • ウ は上で示したとおり正解です（排他的論理和）。
• エ: $X=(\overline{A}+B)\cdot (A+\overline{B})$
  • 展開すると$\overline{A}A+\overline{A}\overline{B}+BA+B\overline{B}=A\cdot B+\overline{A}\cdot \overline{B}$となり、選択肢イと同じXNORです。よって不正解。

よくある誤解

• 「ORの後で分岐して両ANDに入っているのでOR出力がそのまま答えだ」と考える誤り：分岐している信号はANDと組み合わされるため、単独のOR出力とは異なります。
• 「$A\cdot B+\overline{A\cdot B}$は正解だ」と思う誤り：これは$P+\overline{P}=1$で常に1になり、回路の動作（入力依存）と一致しません。
• ド・モルガンや分配則の誤用：例えば$(\overline{A}+B)(A+\overline{B})$を即座にXORと判断するのは誤りで、展開して確かめる必要があります。

補足コラム

• 真理値表（$A,B\to X$）
  • $A=0,B=0\Rightarrow X=0$
  • $A=0,B=1\Rightarrow X=1$
  • $A=1,B=0\Rightarrow X=1$
  • $A=1,B=1\Rightarrow X=0$
    この表がXORの定義そのものであるため、回路がXORを実現していることが一目で分かります。
• 回路実装の観点：この図はインバータ＋OR＋2つのAND＋ORでXORを構成する一般的な構成の一例です。試験では回路を直接XORとして見抜ければ時間短縮になります。

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