基本情報技術者 2017年 春期 午前（科目A） 問01

分配律と集合演算の恒等式【午前解説】

正解の理由

1. 左辺から右辺へ:
   任意の元 $x$ が $(A\cap C)\cup (B\cap C)$ に属するとする。
   すると $x\in A\cap C$ または $x\in B\cap C$ であり、いずれの場合も $x\in C$ かつ $(x\in A$ または $x\in B)$ です。
   よって $x\in (A\cup B)\cap C$。
2. 右辺から左辺へ:
   任意の元 $x$ が $(A\cup B)\cap C$ に属するとする。
   すると $x\in C$ かつ $(x\in A$ または $x\in B)$ であり、場合分けにより $x\in A\cap C$ または $x\in B\cap C$。
   よって $x\in (A\cap C)\cup (B\cap C)$。

解法ステップ

1. 分配律の基本形を思い出す：$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ など。
2. 与式を見て共通因子（ここでは $C$）があるかを探す。
3. 要素法で両包含を示すか、ベン図で領域を確認する。
4. 他の選択肢は短時間で反例を与えて否定する（互いに素な集合を使う）。

選択肢別の誤答解説

• ア: $(A\cup B)\cap (A\cap C)=B\cap (A\cup C)$
  反例：$A=\{1\},B=\{2\},C=\{1\}$ のとき左辺は $\{1\}$、右辺は $\varnothing$ で等しくなりません。よって一般には成り立ちません。
• イ: $(A\cup B)\cap C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$
  反例：$A=\{1\},B=\{2\},C=\{3\}$ のとき左辺は $\varnothing$、右辺は $\{3\}$ で不等。代数的には右辺は $(A\cap B)\cup C$ と整理でき、一般には異なります。
• ウ: $(A\cap C)\cup (B\cap A)=(A\cap B)\cup (B\cap C)$
  反例：$A=\{1\},B=\{2\},C=\{1\}$ のとき左辺は $\{1\}$、右辺は $\varnothing$。両辺の項の組み合わせが異なり恒等式ではありません。
• エ: $(A\cap C)\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$
  正しい。上の「正解の理由」で示した両包含により恒等です。

よくある誤解

• 「和と積はどちらか一方しか分配しない」と誤解し、両方の分配形を覚えていない。実際には $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ や $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ など両方の形が存在します。
• 選択肢を見て直感で左右を入れ替え誤認する。たとえば共通因子 $C$ を外に出すことを忘れると誤答になります。
• 反例を作らず式変形だけで判断し、簡単に否定できる式を見落とす（特に disjoint な集合を使うと早く反例が作れます）。

補足コラム

• ベン図（Venn図）で視覚的に確認する練習、
• 互いに素（disjoint）な集合や空集合を使った反例作り、
• 要素法（一つの元 $x$ を追う）で両包含を示す方法、
  この3つを習得するとスピードと正確性が上がります。

import random
U = list(range(6))
def randset():
    return set(x for x in U if random.random()<0.4)
for _ in range(5):
    A,B,C = randset(), randset(), randset()
    lhs = (A & C) | (B & C)
    rhs = (A | B) & C
    print(A,B,C, lhs==rhs)

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