基本情報技術者 2018年秋期午前（科目A）問01

問題文

16進数の小数0.248を10進数の分数で表したものはどれか。

選択肢

ア：

\frac{31}{32}

イ：

\frac{31}{125}

ウ：

\frac{31}{512}

エ：

\frac{73}{512}

（正解）

16進数の小数0.248を10進数の分数で表したものはどれか。【午前2 解説】

要点まとめ

結論: 正解はエ: $\frac{73}{512}$ 。16進小数 0.248₁₆ を 10進の分数に直すと $\frac{73}{512}$ になります。
根拠: 16進小数は各桁が $1 6^{- 1}, 1 6^{- 2}, \dots$ に対応し、 $0.24 8_{16} = 2/16 + 4/256 + 8/4096$ を通分して約分した結果です。
差がつくポイント: 分母は $1 6^{n}$ （ $= 2^{4 n}$ ）で通分し、約分は2の冪で簡単にできる点を素早く見抜くこと。

正解の理由

16進数の小数部はそれぞれの桁が16の負のべき乗に対応します。
具体的に

0.24 8_{16} = 2 \times 1 6^{- 1} + 4 \times 1 6^{- 2} + 8 \times 1 6^{- 3}

です。これを分数に直すと

2/16 + 4/256 + 8/4096

となり、共通分母

4096 (= 1 6^{3})

に通分すると分子は

512 + 64 + 8 = 584

です。
よって元の値は

584/4096

で、

584 = 8 \times 73, 4096 = 8 \times 512

より約分して

73/512

となります。従って正解はエ:

\frac{73}{512}

です。

よくある誤解

16進の小数を単に小数点以下の数字列をそのまま10進小数と誤解する（例：0.248 を 0.248 と扱うミス）。
桁ごとの重みを16の負乗でなく10の負乗や他の基数で考えてしまう（基数を間違える）。
通分・約分を省略して $584/4096$ のまま答える、または約分の際の最大公約数を見落とすミス。

解法ステップ

各桁の重みを確認：16進小数の桁は左から $1 6^{- 1}, 1 6^{- 2}, 1 6^{- 3}, \dots$ 。
桁ごとに積を計算： $2 \times 1 6^{- 1}, 4 \times 1 6^{- 2}, 8 \times 1 6^{- 3}$ 。
分数表現にする： $2/16, 4/256, 8/4096$ 。
共通分母 $1 6^{3} = 4096$ に通分し分子を足す： $512 + 64 + 8 = 584$ 。
約分して最簡分数にする： $584/4096 = (8 \times 73) / (8 \times 512) = 73/512$ 。

（代替法）各桁を順に

1 6^{- k}

の分数として扱うのが最短で確実です。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{31}{32}$
値は $0.96875$ （10進）で、題意の値とは大きく異なります。16進分解とは無関係な値。
イ: $\frac{31}{125}$
値は $0.248$ （10進）に近いが、これは「十進小数0.248」を分数にした結果であり、16進の 0.248₁₆ とは別物です。基数を混同した典型ミス。
ウ: $\frac{31}{512}$
この分数は $31/512 \approx 0.0605$ で、0.248₁₆ の正しい値 $73/512 \approx 0.1426$ と異なります。通分や桁の重みの計算ミスで出やすい値。
エ: $\frac{73}{512}$
正しく通分して約分した結果で、上の手順どおりに計算すると得られる唯一の正解です。

補足コラム

覚えておくと便利な性質：16進の分母は常に $1 6^{n} = 2^{4 n}$ なので、約分後の分母は2の冪になります。16進小数は2進分数と親和性が高く、ビット単位での扱いが容易です。
実務的には、個々の桁を足す方法か、文字列として読み取ってプログラムで Fraction ライブラリを使う方法が確実です。

コード例（16進小数文字列を分数に変換する Python）

from fractions import Fraction

def hex_frac_to_fraction(s):  # s like "0.248"
    assert s.startswith("0.")
    digits = s[2:]
    numerator = 0
    denom = 16 ** len(digits)
    for i, ch in enumerate(digits):
        val = int(ch, 16)
        numerator = numerator * 16 + val
    return Fraction(numerator, denom)

print(hex_frac_to_fraction("0.248"))  # -> Fraction(73, 512)

FAQ

Q1: なぜ分母は 16^3 を使うのですか？
A1: 小数部が3桁（2,4,8）なので最小公倍数として

1 6^{3}

で通分できます。各桁は

1 6^{- 1}, 1 6^{- 2}, 1 6^{- 3}

に対応します。

Q2: 16進小数は必ず有限小数になりますか？
A2: 16は2の冪なので、基数10での有限小数とは無関係です。16進では有限桁なら必ず有限ですが、10進で表すと有限とは限りません（ただし分母が2の冪に約分されるため、10進の有限小数になるには分母が2と5の冪のみである必要があります）。

Q3: 長い16進小数の変換で効率的なやり方は？
A3: 通分・約分の方法が確実で速いです。プログラムでは分数ライブラリを用いるか、繰り返し16倍して整数部分を取り出す方法（乗算法）も使えます。

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