基本情報技術者 2018年秋期午前（科目A）問01

問題文

16進数の小数0.248を10進数の分数で表したものはどれか。

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選択肢

ア：

\frac{31}{32}

イ：

\frac{31}{125}

ウ：

\frac{31}{512}

エ：

\frac{73}{512}

（正解）

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16進小数の分数変換【午前解説】

正解の理由

16進小数の各桁は

1 6^{- 1}, 1 6^{- 2}, \dots

の係数で表されます。小数部が 0.248（16進）であれば

2 \times 1 6^{- 1} + 4 \times 1 6^{- 2} + 8 \times 1 6^{- 3}

と表せます。これを通分して約分すると分数

\frac{73}{512}

になり、選択肢の中ではエがこの値に一致するため正解です。

具体的には次節の手順で示すとおりです。

解法ステップ

16進小数の各桁を基数の累乗で表す。
$0.24 8_{16} = 2 \cdot 1 6^{- 1} + 4 \cdot 1 6^{- 2} + 8 \cdot 1 6^{- 3}$ 。
分母を共通にするために $1 6^{3} = 4096$ を用いる：
$2 \cdot 1 6^{- 1} = \frac{2 \cdot 256}{4096} = \frac{512}{4096}$ 、
$4 \cdot 1 6^{- 2} = \frac{4 \cdot 16}{4096} = \frac{64}{4096}$ 、
$8 \cdot 1 6^{- 3} = \frac{8}{4096} = \frac{8}{4096}$ 。
足し合わせて分子を求める：
$\frac{512 + 64 + 8}{4096} = \frac{584}{4096}$ 。
約分する。584 と 4096 の最大公約数は 8 なので、
$\frac{584 \div 8}{4096 \div 8} = \frac{73}{512}$ 。これが既約形。

したがって分数表現は

\frac{73}{512}

、選択肢ではエと一致します。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{31}{32}$
値は $0.96875$ （10進）で、 $0.24 8_{16} \approx 0.142578125$ と大きく異なります。分母・分子ともに桁数や通分の過程が合っていません。
イ: $\frac{31}{125}$
値は $0.248$ （10進）に近いが、これは「見かけ上の小数列」をそのまま分数に読み替えた誤りです。16進小数と10進小数は基数が異なるため直接対応しません。
ウ: $\frac{31}{512}$
分母は正しい可能性があるが、分子は通分して得られる 73 ではなく 31 になっており算出ミスです。共通分母を取ったときの分子の合算を誤っています。
エ: $\frac{73}{512}$
上記の手順で求まる既約分数と一致します。

よくある誤解

「16進小数の小数列をそのまま10進小数と見なす」
たとえば 0.248 をそのまま 0.248（10進）として扱うと誤答になります。各桁は16進の位取りで評価する必要があります。
「16進で有限小数なら10進では無限小数になる」と思う誤り
16進の有限小数は分母が $1 6^{n} = 2^{4 n}$ の形になり、約分後の分母は 2 のみの冪となります。10進（基数 10 = 2×5）で有限小数となる条件は分母の素因数が 2 と 5 のみであることなので、16進の有限小数は必ず10進でも有限小数になります。
通分・約分の見落とし
共通分母を取った後に最大公約数で約分する工程を省くと、既約形に到達できず選択肢と合致しないことがあります。

補足コラム

基数変換と小数の有限性についての一般法則：

基数 $b$ の有限小数は分数で分母が $b^{n}$ の形（約分後は $b$ の素因数だけを持つ）になります。
別の基数 $c$ で同じ数が有限小数になるための必要十分条件は、約分後の分母の素因数がすべて $c$ の素因数に含まれることです。例：16進（素因数は 2）で有限なら、10進（素因数は 2 と 5）でも有限になります。

簡単な例：

$0. 1_{16} = \frac{1}{16} = 0.062 5_{10}$ （10進でも有限）
$0. 2_{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0.12 5_{10}$

プログラムでの確認（参考）：下のスニペットは16進小数"0.248"を分数に変換します。

from fractions import Fraction

s = "248"              # 小数部の文字列（"0." の後）
num = int(s, 16)       # 16進として解釈した分子
den = 16 ** len(s)     # 分母
fr = Fraction(num, den)
print(fr)              # Fraction(73, 512)

FAQ

Q: なぜ共通分母に

1 6^{3}

を使ったのですか？
A: 小数部の桁数が3桁なので、各項を整数分子に変えるために

1 6^{3}

（最大の分母）で通分すると計算が簡単になります。

Q: 約分できる因数はどう見つけるべきですか？
A: 分子と分母の両方を小さい素数（2,3,5,7,...）で順に割っていけば見つかります。今回は両者とも 8（=2^3）で割れました。

Q: 16進で有限だから必ず10進でも有限になるのですか？
A: はい。16は

2^{4}

なので約分後の分母は 2 の冪だけになります。10進の基数は

2 \times 5

なので分母が2の冪であれば10進でも有限小数になります。

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