基本情報技術者 2018年 春期 午前（科目A） 問01

2の補数表現と剰余の関係【午前解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問：最下位2ビットが“11” → その整数を $x$ とおく。
2. 下位2ビットが示す値は $x\equiv 3(\mathrm{mod}4)$。すなわち $x=4k+3$ と表せる。
3. $k\ge 0$ の場合（$x$ が正）に4で割った余りは $3$。問題の商の取り方に注意して結論を確認する。
4. $k<0$（$x$ が負）の場合、問題の商の定義（絶対値で小数点以下切り捨て）を適用すると余りは $-1$ となり、選択肢のイ・ウ・エと矛盾する。

選択肢別の誤答解説

• ア: その整数値が正ならば3 — 正解。下位2ビット“11”は $x\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ を意味し、正の場合の余りは3になる。
• イ: その整数値が負ならば-3 — 誤り。負で下位2ビットが“11”の例（$x=-1,-5,\dots$）を試すと、問題の商の取り方では余りは $-1$ になる。
• ウ: その整数値が負ならば3 — 誤り。負数であっても同値類としては $3$ に合同だが、商の取り方次第で質問の「余り」は符号付きで $-1$ になり得るため不適。
• エ: その整数値の正負にかかわらず0 — 誤り。下位2ビットが“00”の場合のみ余り0であるが、“11”では明らかに0ではない。

よくある誤解

• 「2の補数の下位ビット＝そのまま余り」という直感は正しいが、負数での余りの定義（符号）が問題となる点を見落とす。
• 除算の商を「下方向（負の方向）へ切り捨てる（floor）」と解釈してしまうと、負の数の余りが異なる答えになりやすい。
• 最下位ビットだけで符号を判断して「負なら−3」という誤った短絡をしがちである。

補足コラム

• 2の補数表現と剰余：Nビット幅であっても、任意の整数 $x$ の下位 $n$ ビットは $x(\mathrm{mod}{2}^n)$ を与えます。したがって下位2ビットは $x(\mathrm{mod}4)$ を直接示します。
• 余りの定義には注意：数学的な剰余（非負の余り）とプログラミングでの負数扱い、あるいは「商の切り方（floor, trunc）」で異なる結果になるため、問題文の規定を必ず確認してください。
• 実例：$7$（111）の下位2ビットは11 → $7=4\cdot 1+3$ で余り3。$-5$（…11111011）の下位2ビットも11 → $-5=4\cdot (-2)+3$ だが商を問題文のように取ると余りは $-1$。

def trunc_div_remainder(x, d):
    q = int(abs(x)/d) * (1 if x>=0 else -1)
    r = x - q*d
    return q, r

print(trunc_div_remainder(7,4))   # (1, 3)
print(trunc_div_remainder(-5,4))  # (-1, -1)

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