基本情報技術者 2024年科目A 問01

問題文

X及びYはそれぞれ0又は1の値をとる変数である。X□YをXとYの論理演算としたとき、次の真理値表が得られた。X□Yの真理値表はどれか。

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選択肢

ア：

イ：

ウ：（正解）

エ：

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真理値表から演算同定【午前解説】

正解の理由

与えられた表は各入力 (X,Y) に対して「X AND (X□Y)」および「X OR (X□Y)」の値が示されています。これらの条件を満たすX□Yを行ごとに求めると、(0,0)=1、(0,1)=1、(1,0)=0、(1,1)=1となります。この真理値列は選択肢のうちウの表と一致します。論理式としては

X □ Y = \neg X \lor Y

すなわち含意

X \to Y

と同値です。

解法ステップ

各行についてXの値に注目する。X=0のときは
- $X \land (X □ Y) = 0$ は常に成立する（ $0 \land a = 0$ ）。
- $X \lor (X □ Y) = (0) \lor (X □ Y) = X □ Y$ なので、表に示された値から直接 $X □ Y$ を求められる。
行 (X=0,Y=0)：OR 列が1なので $X □ Y = 1$ 。
行 (X=0,Y=1)：同様に OR 列が1 → $X □ Y = 1$ 。
行 (X=1,Y=0)：AND 列が0なので $1 \land (X □ Y) = (X □ Y) = 0$ → $X □ Y = 0$ 。OR 列は $1 \lor (X □ Y) = 1$ で矛盾なし。
行 (X=1,Y=1)：AND 列が1 → $1 \land (X □ Y) = (X □ Y) = 1$ → $X □ Y = 1$ 。
得られた真理値列 (00→1,01→1,10→0,11→1) を選択肢と照合するとウに一致する。

選択肢別の誤答解説

ア: 真理値列は (00)=0,(01)=0,(10)=0,(11)=1で、これは $X \land Y$ （論理積）と同値である。与えられた条件の (0,0) 行では OR 列が1を示すため、アの (0,0)=0は条件と矛盾する。
イ: 真理値列は (00)=0,(01)=1,(10)=0,(11)=1で、これは $Y$ と同値である。与えられた (0,0) 行で $Y = 0$ だが OR 列が1を示すため不適合。
ウ: 真理値列は (00)=1,(01)=1,(10)=0,(11)=1で、与えられた各行の AND/OR の条件を満たす。論理式は $\neg X \lor Y$ （含意 $X \to Y$ ）で説明できる。
エ: 真理値列は (00)=1,(01)=1,(10)=1,(11)=0で、これは $\neg (X \land Y)$ （NAND）に相当する。与えられた (1,1) 行で AND 列が1を示しているため、エは (1,1)=0と矛盾する。

よくある誤解

「X=0行では AND 列の値だけ見ればよい」と考えると誤る。X=0のとき AND 列は常に0なので、実際に役立つのは OR 列（＝ $X □ Y$ 自身）である点を見落としやすい。
選択肢を既知の演算（AND/OR/XOR等）に当てはめるだけで決めようとする。正しくは与えられた複合式（X AND (X□Y), X OR (X□Y)）から論理的に逆算することが必要。

補足コラム

導出した式を整理すると

X □ Y = \neg X \lor Y

は含意（if X then Y）を表す標準的な論理演算です。代数的に簡単化する手順は次の通り：

\neg X \lor (X \land Y) = (\neg X \lor X) \land (\neg X \lor Y) = 1 \land (\neg X \lor Y) = \neg X \lor Y

この問題は「複合式の値から未知演算の値を逆算する」典型問題で、Xの値による分岐（X=0とX=1）で考えると素早く解けます。

FAQ

Q1: X=0の行ではなぜ AND 列は情報にならないのですか？
A1:

0 \land a = 0

はaに依らず常に0だからです。したがってX=0の行では AND 列から

X □ Y

を決定できず、代わりに OR 列

0 \lor (X □ Y) = (X □ Y)

を使います。

Q2: 得られた真理値表から直接演算名はどう決める？
A2: 真理値表を既知演算（AND, OR, XOR, NAND, 含意など）と照合するか、ブール式に変換して簡約化すると演算名が分かります。本問では

\neg X \lor Y

が導かれ、含意

X \to Y

と判定できます。

Q3: 矛盾が出たらどうする？
A3: 与えられた複合列同士に矛盾があれば問題の表が不正確か、選択肢に正しい演算がない可能性があります。まず各行ごとに論理的に導出し、矛盾箇所を特定してください。

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