ITパスポート 2009年 秋期 問70

Y < X を満たす回数の期待値【ITパスポート 解説】

正解の理由

• X, Y は同じ分布で独立（お互いに影響しない）と考えられます。
• 連続一様分布の場合、X=Y となる確率は 0 です。よって「Y<X」と「Y>X」は対称で、それぞれの確率は同じ（=1/2）になります。

解法ステップ

1. 各試行で「Y < X」が起こる確率を求めます。
   方法A（対称性）: X と Y は同じ分布で独立なので、Y<X と Y>X の確率は等しい。X=Y の確率は 0 なので、それぞれ $\frac{1}{2}$。
2. 方法B（積分で示す）: 条件付きで考えると、 $P(Y<X)={\int }_0^{1}P(Y<X\mid X=x)f_X(x)dx={\int }_0^{1}x\cdot 1dx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}.$ （ここで $f_X(x)=1$ は 0–1 の一様分布の確率密度）
3. 期待値は回数（600）に確率を掛けて求めます： $E(\text{回数})=600\times P(Y<X)=600\times \frac{1}{2}=300.$

選択肢別の誤答解説

• ア: 150
  「1/4」を使った計算から来る値です。例えば $P(Y<X)=\frac{1}{4}$ と誤解するとこの値になりますが、正しくは $\frac{1}{2}$ です。
• イ: 200
  「1/3」を使った誤りです。$P(Y<X)=\frac{1}{3}$ という根拠がよくわからない場合、積分や対称性を見落としています。
• ウ: 300
  正解。理由は上記の通り、確率が $\frac{1}{2}$ だからです。
• エ: 400
  「2/3」を用いた誤りです。例えば「Y<X となる領域が単位正方形の 2/3 だ」と誤認する場合に生じますが、実際は対角線より下の三角形の面積が $1/2$ です。

よくある誤解

1. X=Y を含めて考えてしまう
   連続分布では X=Y となる確率は 0 です。よって「Y<X」と「Y>X」はほぼ確実に互いに排他的で、合計確率は 1 になり、それぞれ $1/2$ です。
2. 「一様乱数」の意味の取り違え
   「0〜1の一様乱数」は区間内の値が均等に出るという意味です。これを「0か1だけが出る」といった離散の誤解と混同しないようにします。
3. 独立性を忘れる
   X と Y が独立でない場合、確率は必ずしも $1/2$ にはなりません。問題文は独立に取り出すことを前提と解釈します。

補足コラム

• 面積による直感：X,Y を横軸・縦軸に取ると、全事象は単位正方形（面積1）です。条件 Y<X に相当するのは対角線 y=x より下の三角形で、その面積は $1/2$。直感的で視覚的に理解しやすい方法です。
• 分布のばらつき（参考）: 各試行は成功（Y<X）か失敗のベルヌーイ試行です。600回の成功回数は二項分布 $B(n=600,p=1/2)$ に従います。分散は $\mathrm{Var}=np(1-p)=600\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=150,$ 標準偏差は約 $12.25$ です。つまり実際の観測値はだいたい 300 ± 12 の範囲でばらつくことが多いです。
• 一般化：連続で同じ分布の $k$ 個の変数から一つが最小になる確率は $1/k$ です。例えば3つの変数なら「Y が最小になる確率」は $1/3$。

import random
N=10_0000
count=0
for _ in range(N):
    x=random.random()
    y=random.random()
    if y<x:
        count+=1
print(count/N)  # 大体 0.5 に近づく

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