ITパスポート 2010年 秋期 問64

三つの装置の稼働率の組合せ【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 基本ルールを確認する。
   • 直列接続（series）：全ての装置が稼働していなければならない。稼働率は各装置の「積」。
   • 並列接続（parallel）：どれか一つが稼働していればよい。停止確率（故障確率）の積の補集合で計算。
2. 各装置の稼働率を確認する：$A=0.90,B=0.95,C=0.95$。
3. 各選択肢の稼働率を計算する（下で詳細に示します）。
4. 数値を比較して最大のものを選ぶ。

各選択肢の計算（詳しい式）

• ア（A と B が直列）
  直列のため積：
  $0.90\times 0.95=0.855(85.5\%)$
• イ（A, B, C が直列）
  直列のため積：
  $0.90\times 0.95\times 0.95=0.81225(81.225\%)$
• ウ（A の直列の後に B と C が並列）
  まず B と C の並列：停止確率を掛けて補集合を取る。
  $1-(1-0.95)(1-0.95)=1-0.05\times 0.05=0.9975$
  これを A と直列（掛け算）：
  $0.90\times 0.9975=0.89775(89.775\%)$
• エ（B と C が並列のみ）
  先と同様に並列のみ：
  $1-(1-0.95)(1-0.95)=0.9975(99.75\%)$

選択肢別の誤答解説

• ア（85.5%）
  誤りポイント：直列は「積」を取ることを忘れると高めに出てしまう可能性があります。直列は信頼性を下げる方向です。
• イ（81.225%）
  誤りポイント：同様に、3つ直列はさらに低くなります。直列が増えるほど稼働率は小さくなります。
• ウ（89.775%）
  誤りポイント：B と C の並列を計算してから A と掛ける順序を確認してください。並列部分だけを単純に平均したり和をとったりすると間違えます。
• エ（99.75%）
  正解。B と C の並列だけなので、停止確率の積の補集合で計算します。並列はシステム稼働率を大きく改善します。

よくある誤解

1. 「並列は単純に足す」：例えば 0.95 + 0.95 = 1.90 のように考える誤り。確率は 1（100%）を超えません。並列は「どちらかが動く」＝停止確率を掛けて補集合を取ります。
2. 「直列で足す」：直列は足すのではなく掛けます。直列接続が増えると稼働率は下がります。
3. 独立性を忘れる：上の計算は各装置の故障が互いに独立（他の装置の故障に影響しない）である前提です。現実には共通原因故障（電源障害など）で独立でない場合があります。

補足コラム

• 「稼働率（availability）」とは、任意の時点で装置が動作している確率です。英語の availability は「利用可能であること」を意味します。
• 直列と並列の扱いは、電気回路の考え方に似ていますが、確率の世界では「停止確率（故障確率）$q=1-p$」を使うと並列計算が楽になります。並列全体の停止確率は各装置の停止確率の積、稼働率はその補集合です。
• 実務では、並列化（冗長化）により可用性は上がりますが、コストや共通故障のリスクも考慮する必要があります。

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