ITパスポート 2010年秋期問69

問題文

二つの変数

x

と

y

に対して、次の手続を(1)から順に実行する。処理が終了したとき、

x

の値は幾らになるか。

〔手続〕　(1)

x

に2を代入し、

y

に3を代入する。　(2)

y

の値から1を引いたものを

y

に代入する。　(3)

x

の値と

y

の値を加えたものを

x

に代入する。　(4)

y \neq = 1

なら手続(2)に戻り、

y = 1

なら処理を終了する。

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選択肢

ア：4

イ：5（正解）

ウ：7

エ：8

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反復による累積加算【ITパスポート解説】

正解の理由

手続では毎回「まず y を1減らし、その減らした値を x に足す」操作を繰り返します。初めに

x = 2, y = 3

なので、減算して加算する値の順は

2, 1

となり、これらを x に順に足します。したがって最終的な

x

は 2 + (2 + 1) = 5 となり、選択肢イが正しいです。

（操作の順序「y を減らす→その y を x に加える」が重要です。順序を取り違えると答えが変わります。）

解法ステップ

初期状態： $x = 2, y = 3$ （問題の(1)より）。
1回目の繰り返し：
- (2) $y \leftarrow y - 1$ → $y = 2$
- (3) $x \leftarrow x + y$ → $x = 2 + 2 = 4$
- (4) $y \neq = 1$ （2≠1）なので繰り返す
2回目の繰り返し：
- (2) $y \leftarrow y - 1$ → $y = 1$
- (3) $x \leftarrow x + y$ → $x = 4 + 1 = 5$
- (4) $y = 1$ なので処理終了
結果： $x = 5$ （選択肢イ）

一般化すると、初期値を

x = a, y = m

とした場合、各繰り返しで足される値は

m - 1, m - 2, \dots, 1

です。よって（ただし次の注意を参照）最終的な

x

は

x = a + \sum_{k = 1}^{m - 1} k = a + \frac{( m - 1 ) m}{2}

となります。

重要な条件：上の式は初期

m \geq 2

のときに成り立ちます。もし

m \leq 1

（例：

m = 1

や

m \leq 0

）だと、手続の順序上 y はさらに小さくなり続けて

y = 1

にならないため、処理は終了せず無限ループになります。

選択肢別の誤答解説

ア: 4
誤りの典型は「繰り返しが1回だけ行われる」と誤解することです。1回だけなら $x = 4$ になりますが、実際は y が 2 のときもう一度繰り返します。
イ: 5
正しい。上記の手順どおりに2回の繰り返しで $x = 5$ になります。
ウ: 7
これは「元の y 値（3）を足してしまう」など、操作の順序を誤った場合に出やすい値です。手続ではまず y を減らすため、3 を直接足すことはありません。
エ: 8
典型的なミスは「(3) の加算を y を減らす前の値で行う」と誤解するパターンです。その場合 2 + 3 + 2 + 1 = 8 のように計算してしまいますが、手続の定義と順序に反します。

よくある誤解

「加算は元の y を使う」と思い込む
→ 問題文の操作順（(2) で y を減らす→(3) で加える）を必ず確認してください。順序が答えを決めます。
一般式の適用範囲を見落とす
→ 一般式 $a + \sum_{k = 1}^{m - 1} k$ は初期 $m \geq 2$ の場合だけです。 $m \leq 1$ では y が 1 に到達せず無限ループになります。
端点（y=1 の扱い）を見落とす
→ 初期 y=1 のときも (2) と (3) は一度実行され、その後無限に続く点を理解しておきましょう。

補足コラム

等差数列の和の公式を覚えると便利です。1 から $n$ までの和は $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ なので今回の和 $\sum_{k = 1}^{m - 1} k$ は $\frac{( m - 1 ) m}{2}$ です。
手続の設計で「前置（先に減らす）か後置（後で減らす）か」は非常に重要です。プログラミングではループ条件や順序の違いで結果が変わる典型例です。
実際に動きを確かめたい場合の簡単なシミュレーション（Python例）：

def simulate(a, m, steps=100):
    x=a; y=m
    for i in range(steps):
        y = y - 1
        x = x + y
        if y == 1:
            return x
    return None  # steps 回以上回って終了しない（無限ループの疑い）

print(simulate(2, 3))  # 出力: 5

FAQ

Q1: 「初期 y=1 のときはどうなる？」
A1: 手続では (2) と (3) が一度実行され、y は 0 になります。以降 y はどんどん小さくなり 1 には戻らないので、処理は終了せず無限ループになります。

Q2: 「一般式は他の問題でも使えますか？」
A2: 同じ構造（y を 1 ずつ減らし、その値を累積する）なら使えます。ただし初期値がどうか（m の大小）を必ず確認してください。

Q3: 「なぜ m≥2 を条件にするのか？」
A3: m≥2 のときだけ「減らしていった最小の値が 1 になる」ためループが終わります。m≤1 だと最終的に 1 にならず終了条件が満たされません。

関連キーワード: 反復処理、ループ、累積加算、等差数列の和、無限ループ

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