ITパスポート 2010年 秋期 問82

6文字の並べ方（a と b が両端になる場合）【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 両端の並べ方を考える：a と b の並び順は 2 通り。
   • 例：a ... b、または b ... a
2. 中央の4文字を並べる：4つを並べる方法は $4!=24$ 通り。
3. 乗法原理（ある選択と別の選択を組み合わせるときは掛ける）により、$2\times 24=48$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 24
  → これは中央の $4!=24$ のみを数えて、両端の順序（a と b の入れ替え）を考慮していない場合の値です。両端の順序も考える必要があります。
• イ: 30
  → 30 は 6個から順序を考えて2つ選ぶ場合の数 $P(6,2)=6\times 5=30$ の値です。問題は「任意の2つを両端にする」ではなく、両端が特に a と b に固定されています。したがってこの値は不適切です。
• ウ: 48（正解）
  → 両端の2通り × 中央の $4!$ 通りで求まります。
• エ: 360
  → 360 は例として $6!/2$（720÷2）に相当します。これは「全て並べた後に何かで割っている」ような誤った考え方（例えば a と b を indistinguishable（区別しない）とみなすなど）から出る数ですが、この問題の条件とは一致しません。

よくある誤解

1. 両端の順序を無視する
   • 「a と b が両端になる」と聞いて「両端に a と b がいる」とだけ考え、どちらが左か右かを区別しないミス。順序は重要で、2通りあります。
2. 乗法原理を使わない
   • 両端の決定と中央の並べ方を別々に考えず、合計や引き算で処理してしまう。独立な選択を組み合わせるときは掛け算します。
3. 階乗の意味を取り違える
   • $4!$ は単に「4×3×2×1」であること。これを忘れると中央の並べ方を正しく数えられません。

補足コラム

• 「階乗」（factorial）とは、自然数 $n$ に対し $n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 1$ を意味します。並べ方（順列）を数えるときによく使います。
• 一般化：異なる $n$ 個のうち、特定の2個が両端に来るように並べる場合の通り数は
  $2\times (n-2)!$ です。今回の例では $n=6$ なので $2\times 4!$ になります。
• なぜこの考え方が有用か：並べ方の問題は、プログラムで全パターンを列挙するときの探索空間や、組合せの計算で効率化を考えるときに役立ちます。たとえば全探索でなく条件を絞って掛け算で数えることで計算量をグッと減らせます（計算の工夫はITの基本スキルの一つです）。

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