ITパスポート 2010年 春期 問69

二つの集合の関係について【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 記号の意味を確認する
   • $A\cap B$: $A$ と $B$ の両方に入る要素（積集合）
   • $A\cup B$: $A$ または $B$ の少なくとも一方に入る要素（和集合）
   • 部分集合 $X\subseteq Y$: 任意の $x\in X$ に対して $x\in Y$ が成り立つこと
2. 各選択肢を「要素 $x$ が入るときどうなるか」で考える（要素論法）
   • $x\in A\cap B$ ならば $x\in A$ か？ → はい（よって部分集合）
   • 他の選択肢は逆向きや逆の包含を主張しているか確認し、成り立たない具体例を探す
3. 必要なら反例を示す（反例が一つあれば「常に成立しない」ことが分かる）

選択肢別の誤答解説

• ア: 「$A\cap B$は、$A$でない集合の部分集合である。」
  ここで「$A$でない集合」が $A$ の補集合（$A^c$）を意味すると解釈すると間違いです。$A\cap B$ の要素は $A$ に属するため、$A^c$（$A$ に属さない要素）には入らないのが普通です。反例：$A=\{1\},B=\{1\}$ のとき $A\cap B=\{1\}$ は $A^c$ の要素ではない。
• ウ: 「$A\cup B$は、$A\cap B$の部分集合である。」
  和集合 $A\cup B$ は通常、積集合 $A\cap B$ より要素が多い（または同じ）ため、逆の包含が成り立ちます。反例：$A=\{1\},B=\{2\}$ のとき $A\cup B=\{1,2\}$、$A\cap B=\varnothing$。$\{1,2\}$ が空集合の部分集合でないため誤り。
• エ: 「$A\cup B$は、$A$の部分集合である。」
  これは $A\cup B\subseteq A$ と言っていますが、一般には成り立ちません。成り立つのは特別な場合（例えば $B\subseteq A$ のとき）だけです。反例：$A=\{1\},B=\{2\}$ のとき $2\in A\cup B$ だが $2\notin A$。

よくある誤解

1. 「和集合と積集合の向き（どちらが大きいか）を取り違える」
   • 覚え方：積集合は両方に共通するので小さい（狭い集合）、和集合はどちらかに入ればよいので大きい（広い集合）。
2. 「部分集合と要素の違いを混同する」
   • 表現が「x ∈ A」と「A ⊆ B」を混同しやすい。前者は「個々の要素の所属」、後者は「集合全体の包含関係」。
3. 「否定語（〜でない）が何を指すか曖昧に解釈する」
   • 選択肢にある「Aでない集合」が補集合を指すのか単に別の集合を指すのか不明瞭な場合、文脈で確かめる必要があります。通常は補集合を意味すると解釈すると誤りになります。

補足コラム

• $A\cap B\subseteq A$ は常に成り立つ
• $A\cap B\subseteq B$ も常に成り立つ
• $A\subseteq A\cup B$、$B\subseteq A\cup B$ も常に成り立つ

• $A\cap B=A$ ならば $A\subseteq B$（つまり $A$ が $B$ に含まれるとき）
• $A\cup B=A$ ならば $B\subseteq A$

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