ITパスポート 2011年秋期問26

問題文

ある商店で販売している商品Aの1週間の売上個数の分布は表のとおりである。商品Aの発注から納入までのリードタイムが1週間のとき、品切れになる確率を10%未満にするため、発注時に最低限必要な在庫は幾つか。

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選択肢

ア：87

イ：88

ウ：92（正解）

エ：93

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発注時の最低必要在庫【ITパスポート解説】

正解の理由

リードタイム（発注から納品までの時間）が1週間なので、リードタイム中に必要な在庫は「1週間の売上個数」に対応します。ここで「品切れになる確率を10%未満にする」とは、品切れ確率

P (D > S)

が

0.10

未満であることを意味します。これは確率の補集合から

P (D > S) < 0.10 ⟺ P (D \leq S) > 0.90

となり、等号を含まない「厳密に90%より大きい」ことが必要です。表の累積割合を下から足していくと、累積で94%になる点が初めて90%を超えます。そのときの売上個数は92なので、最小の必要在庫は92（選択肢ウ）です。

※分布（確率分布：各売上個数が起きる割合）、在庫（手元に保有する商品）、サービスレベル（一定期間内に品切れにならない確率）をそれぞれ示しています。

解法ステップ

与件の確率条件を式にする。品切れ確率が10%未満： $P (D > S) < 0.10$ 。
補集合を使って在庫を満たす条件を表す： $P (D \leq S) > 0.90$ （ここで「>」が重要）。
表の分布（％）を小さい値から順に累積する。各値の累積は次の通り（％）：
- 86: 1
- 87: 1 + 5 = 6
- 88: 6 + 11 = 17
- 89: 17 + 20 = 37
- 90: 37 + 26 = 63
- 91: 63 + 20 = 83
- 92: 83 + 11 = 94 ← ここで初めて $> 90%$
最小の S は累積が90%を超える最初の値＝92。したがって発注時に最低必要な在庫は92個（選択肢ウ）。

選択肢別の誤答解説

ア: 87
累積は6%で、品切れ確率は94%（=1−0.06）になってしまいます。目標の10%未満には遠く及びません。
イ: 88
累積は17%で、品切れ確率は83%です。これも不十分です。
ウ: 92
累積が94%で、品切れ確率は6%となり、要求の「10%未満」を満たします。しかも「最小」の在庫数です。
エ: 93
累積は99%で、品切れ確率は1%になります。要求は満たしますが、「最低限必要な在庫」を問われているため、92より多い93は最小ではありません。

よくある誤解

「90%ちょうどで良い」と考える誤り：条件は「10%未満」なので、 $P (D \leq S)$ は厳密に90%より大きくなければなりません（ $> 0.90$ ）。等号（=）は不可です。
累積を上方向（大きい数から）で計算してしまう：必ず需要がその在庫以下である確率を求めるため、小さい値から順に累積します。
リードタイムの期間を誤る：リードタイムが1週間なら対象は1週間の需要。リードタイムと需要期間を合わせるのを忘れると計算が狂います。

補足コラム

一般式：目標とする許容品切れ確率を $α$ とすると、在庫 $S$ は最小の $S$ で $P (D \leq S) > 1 - α$ を満たす値になります。今回の $α = 0.10$ なので $P (D \leq S) > 0.90$ を満たす最小の $S$ を選びます。
リードタイムが複数週の場合は、リードタイム中の合計需要分布（複数週分の合計）で同様に累積確率を計算します。合計は独立であれば畳み込みで求めますが、表に直接与えられていればその累積を用います。

FAQ

Q1. なぜ「>0.90（厳密に超える）」が必要ですか？
A1. 問題の条件は「品切れ確率を10%未満にする」＝

P (D > S) < 0.10

であり、等号を含みません。確率の補集合を取ると

P (D \leq S) > 0.90

になるため、「ちょうど90%」では不十分です。

Q2. 表の累積がちょうど90%の値があったらどうする？
A2. その値では

P (D \leq S) = 0.90

となり、

P (D > S) = 0.10

で条件を満たさないので、次に累積が90%を超える値を選びます。

Q3. リードタイムが2週間だったら？
A3. 2週間分の需要の分布を使って、同じく累積確率が90%を超える最小の合計需要を在庫として選びます。週ごとの独立性がある場合は確率の畳み込みが必要です。

関連キーワード: 在庫管理、サービスレベル、リードタイム、累積確率、品切れ確率

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