ITパスポート 2011年 秋期 問64
問題文
1～4の番号をもつ四つの状態がある。四つの状態は図のようにつながれており、時計回りや反時計回りに状態を遷移することができる。
選択肢
ア：1
イ：2
ウ：3
エ：4（正解）
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状態遷移（余りによる移動）【ITパスポート 解説】
正解の理由
現在の状態番号に対して「11倍して3で割った余り」を計算し、その余りに応じて移動します。
11を3で割った余りは2なので、任意の状態番号 n に対して 11×n を3で割った余りは を3で割った余りと同じになります（数式で の意味です）。
問題は「手順を2回実施」するので、順に計算します。
11を3で割った余りは2なので、任意の状態番号 n に対して 11×n を3で割った余りは を3で割った余りと同じになります（数式で の意味です）。
問題は「手順を2回実施」するので、順に計算します。
1回目：現在 1 → 11×1 = 11、11 ÷ 3 の余りは 2。余りが2なので「時計回りに二つ」移動。1 → 2 → 3。結果：状態3。
2回目：現在 3 → 11×3 = 33、33 ÷ 3 の余りは 0。余りが0なので「時計回りに一つ」移動。3 → 4。
したがって最終状態は 4、つまり選択肢は エ です。
2回目：現在 3 → 11×3 = 33、33 ÷ 3 の余りは 0。余りが0なので「時計回りに一つ」移動。3 → 4。
したがって最終状態は 4、つまり選択肢は エ です。
解法ステップ
- まず 11×現在の状態番号 を計算する。
- それを3で割った「余り」を求める（余り＝割り算のあまり）。
- 余りが0なら時計回りに1つ、1なら反時計回りに1つ、2なら時計回りに2つ動く。
- これを問題の回数だけ繰り返す（今回は2回）。
実際の計算（簡潔）
- 1回目：11×1 = 11 → 11 mod 3 = 2 → 時計回りに2つ → 1 → 2 → 3
- 2回目：11×3 = 33 → 33 mod 3 = 0 → 時計回りに1つ → 3 → 4
選択肢別の誤答解説
-
ア: 1
誤りの典型：1回目の移動を忘れて「出発点のまま」としてしまう場合。実際は1回目で状態3に移るため最終的に1には戻らない。 -
イ: 2
誤りの典型：余りの計算を間違えたり、時計回り／反時計回りを取り違えると出る答え。正しい計算では1回目で状態3になるため、2で終わることはない。 -
ウ: 3
誤りの典型：手順を1回だけ実施したままとしている場合。問題では「2回実施」なので、1回目で状態3に来てもさらにもう1回動かす必要がある。 -
エ: 4（正解）
上の通り、2回の手順の結果は状態4になります。
よくある誤解
- 「11×n の余りをそのままnに足す」など、余りの意味を取り違える。余りは「割ったあとの余りの数」であって、その数だけ移動する指示になる点を忘れない。
- 時計回りと反時計回りの向きを逆に覚える。図や問題文の向きを必ず確認する。
- 1回目の結果を使って2回目を計算するのを忘れる。手順は繰り返し適用するので、常に「今いる状態」を更新してから次の計算を行う。
補足コラム
「余り」を扱うときはモジュロ（剰余）という考え方が便利です。モジュロとは「ある数で割ったときの余り」のことを指します。今回のポイントは 11 ≡ 2 (mod 3) で、これは「11を3で割った余りは2」という意味です。これにより計算を簡略化できます。
また、同様の問題を何度も繰り返す場合は、状態ごとに次に行く状態を表にしておくと早いです（今回の写像 f は f(1)=3, f(2)=1, f(3)=4, f(4)=2）。
短い表（参考）
- 状態1 → 次は3
- 状態2 → 次は1
- 状態3 → 次は4
- 状態4 → 次は2
この表を使えば、2回適用は f(f(1)) = f(3) = 4 と素早く求められます。
FAQ
Q. 「余り」を計算する簡単なコツはありますか？
A. 大きな数なら、問題の底（ここでは3）で割ったあとの余りで考えます。例えば 11 は 3で割ると余り2なので、11×n の余りは 2×n の余りに置き換えられます。
A. 大きな数なら、問題の底（ここでは3）で割ったあとの余りで考えます。例えば 11 は 3で割ると余り2なので、11×n の余りは 2×n の余りに置き換えられます。
Q. 反時計回りと時計回りを混同しないコツは？
A. 図に小さな矢印で「→」や「←」を直接書くか、時計の針をイメージするとわかりやすいです。右回り＝時計回り、左回り＝反時計回りで覚えておくと実務でも役立ちます。
A. 図に小さな矢印で「→」や「←」を直接書くか、時計の針をイメージするとわかりやすいです。右回り＝時計回り、左回り＝反時計回りで覚えておくと実務でも役立ちます。
Q. 同じルールで何回も繰り返す場合、周期（ループ）を調べられますか？
A. はい。状態遷移の写像を並べてグラフにすると周期が見つかります。今回の写像ではサイクルを追えば効率的に答えを出せます（例：1→3→4→2→1 のような循環になるかを確認）。
A. はい。状態遷移の写像を並べてグラフにすると周期が見つかります。今回の写像ではサイクルを追えば効率的に答えを出せます（例：1→3→4→2→1 のような循環になるかを確認）。
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