ITパスポート 2012年 秋期 問66

2進数に変換したとき、有限小数で表現できる10進数はどれか。【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 与えられた小数を分数に直す（分子と分母で表す）。
   例：0.1 = 1/10, 0.2 = 2/10 = 1/5, 0.4 = 4/10 = 2/5, 0.5 = 5/10 = 1/2。
2. 分数を既約分数（これ以上約分できない形）にする。
   上の例では 1/10 → 1/10、1/5、2/5、1/2。
3. 分母を素因数分解する。
   • 分母に含まれる素数が「2だけ」であれば、2進数で有限小数になる。
   • それ以外（5など）が含まれていると、2進数では無限小数（循環）になる。
4. または、実際に「小数部分×2」を繰り返して整数部分を並べる方法（乗算法）で確かめる：
   • 例：0.5 × 2 = 1.0 → 小数部分が0になったので有限（結果 0.1₂）。
   • 例：0.1 × 2 = 0.2 → 0, 次に 0.2 × 2 = 0.4 → 0, 0.4 × 2 = 0.8 → 0, 0.8 × 2 = 1.6 → 1, 0.6 × 2 = 1.2 → 1, 0.2 に戻る… と循環する。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0.1
  0.1 = 1/10。既約にすると分母に 5 が含まれる（10 = 2×5）。2進数では循環小数になります（例：0.000110011…₂）。
• イ: 0.2
  0.2 = 1/5。分母に 5 が含まれるため、2進数では循環になります（例：0.00110011…₂）。
• ウ: 0.4
  0.4 = 2/5。分母に 5 が含まれるため、2進数では循環になります（例：0.0110011…₂）。
• エ: エ 0.5 — 正解
  0.5 = 1/2。分母は $2$ のみなので、2進数では有限小数（0.1₂）になります。

よくある誤解

1. 「10進で有限小数なら2進でも有限小数」
   → 間違いです。10進で終わる小数（例：0.1や0.4）でも、2進では循環することが多いです。どの素因数が分母にあるかが鍵です。
2. 「小数の見た目（0.25なら短い）で判断してしまう」
   → 見た目では判断できません。必ず既約分数にして分母の素因数を確認してください。
3. 「乗算法で途中で同じ値が出たら終わりと思い込む」
   → 途中で同じ小数部分が出たらそこから周期が始まります（循環）。小数部分が0にならない限り有限とは言えません。

補足コラム

• 一般のルール（覚え方）
  • 基数（base）b の表現で有限小数になるのは、既約分数の分母の素因数が b の素因数に含まれる場合だけです。
  • 例：base 10 の場合は素因数 2 と 5 が許される（だから 0.125 = 1/8 は有限、0.2 = 1/5 も有限）。
  • base 2 の場合は素因数は 2 のみなので、分母は $2^k$ の形のみが有限になります（例：1/2, 1/4, 3/8 など）。
• 実用例：コンピュータは内部で2進数を使います。0.1（10進）をそのまま正確に表せないのは、この素因数の違いが原因です。

def is_finite_in_binary(x, max_iter=50):
    # x は 0<x<1 の十進小数（floatではなく分数が望ましい）
    frac = x
    for _ in range(max_iter):
        frac *= 2
        if abs(frac - round(frac)) < 1e-12:
            return True
        frac -= int(frac)
    return False

print(is_finite_in_binary(0.5))  # True
print(is_finite_in_binary(0.1))  # False (iter上限で判定)

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