ITパスポート 2012年 春期 問52

負の整数を2の補数で表現するとき、8桁の2進数で表現できる数値の範囲を10進数で表したものはどれか【ITパスポート 解説】

正解の理由

• ビット数が1増えると表現できる値の幅は2倍になります。
• 2の補数では「0」は一意で、負数側に1つ多く値を割り当てられるため、下限が対称でない点に注意します。

解法ステップ

1. 「ビット数 = 8」なので n = 8 と認識する。ここで「桁」はビット（0か1を示す単位）。
2. 2の補数の一般式を思い出す：nビットで表せる範囲は $-2^{n-1}$ ～ $2^{n-1}-1$。
3. n = 8 を代入する：$-2^7$ ～ $2^7-1$。
4. $2^7=128$ なので範囲は $-128$ ～ $127$。選択肢の中でこれに当たるのが ウ。

選択肢別の誤答解説

• ア: -256～255
  誤りです。これは「9ビットで2の補数を使った場合」の範囲（$-2^8$ ～ $2^8-1$）に相当します。8ビットではありません。
• イ: -255～256
  誤りです。負側と正側がずれており、どちらの端も2のべき乗の形になっていません。そもそも2の補数では正側は $2^{n-1}-1$ の形（ここでは127）になります。
• ウ: -128～127
  正しいです。上で示した一般式 $-2^7$ ～ $2^7-1$ に一致します。
• エ: -127～128
  誤りです。正符号側が1多く、負側が1少ない対称のずれがあります。2の補数ではゼロを1通りで表すため、負側が1つ多く取られます（そのため下限が-128で上限が127になる）。

よくある誤解

1. 「負と正で対称になる」と誤解する
   → 直感的には「-128～127 は対称ではない」と感じます。2の補数では「0」が1つしかないため、負側に1つ多く割り当てられ、範囲は非対称になります。
2. 「8桁＝8進数と混同する」
   → 「桁」はここでは二進法の桁数、つまりビット数（bit）です。8桁の2進数 = 8ビットです。8進数（octal）は別の基数です。
3. 「2の補数と符号＋絶対値（符号符号法）を混同する」
   → 符号＋絶対値（符号ビット＋絶対値）だと、正と負でゼロが二通り（+0 と -0）になりがちです。2の補数はその問題を解決します。

補足コラム

• なぜ下限が1つ大きいのか（直感的な理由）
  2の補数では最上位ビット（MSB：Most Significant Bit＝一番重いビット）が「負の重み」を持ちます。8ビットの場合、MSB は $-2^7=-128$ の重みを持ちます。他のビットは正の重み（$2^6,2^5,...,2^0$）を持ちます。すべての下位ビットを1にすると正の重みの合計は $2^7-1=127$ となり、負側は MSB が1で他が0のとき $-128$ になります。これが範囲が $-128$ ～ $127$ になる直感的な説明です。
• 具体例（2の補数の作り方）
  例えば十進で -5 を8ビットで表す場合：
  1. 5 の2進（8ビット） = 00000101
  2. ビット反転（1の補数） = 11111010
  3. 1を足す（2の補数） = 11111011 → これが -5 の表現です。
• 確認用Python（学習用）

# 8ビットの2の補数表現を確認（-128～127）
def to_signed_8bit(x):
    # x: 整数（-128～127）
    return format(x & 0xff, '08b')

for v in (-128, -1, 0, 1, 127):
    print(v, to_signed_8bit(v))

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