ITパスポート 2013年 秋期 問52

図1と図2の稼働率差【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 用語確認
   • 稼働率：装置が正常に動作している確率。
   • 並列接続：どれか1つでも動けばその部分は動作（冗長化）。
   • 直列接続：すべてが動いて初めて全体が動作。
2. 図1のA部分（2台並列）の稼働率を求める
   • 1台の稼働率 $p=0.9$。故障確率は $1-p=0.1$。
   • 両方故障する確率は $(1-p{)}^2=0.1^2=0.01$。
   • よって並列で少なくとも1台が動く確率は
     $1-(1-p{)}^2=1-0.01=0.99$。
3. 図1全体（A並列 → B直列）の稼働率
   • 直列は「両方が動く」必要があるので乘算：
     $0.99\times 0.8=0.792$。
4. 図2全体（A1台 → B）の稼働率
   • $0.9\times 0.8=0.72$。
5. 差分と四捨五入
   • 差 = $0.792-0.72=0.072$。
   • 小数第3位（千分位）の「2」を見て四捨五入 → $0.07$。

選択肢別の誤答解説

• ア 0.07
  正解。上の手順どおり計算すると差は $0.072$ で四捨五入して $0.07$ になるため妥当です。
• イ 0.09
  多くの人がやる誤り：A部分の並列化による改善幅 $0.99-0.9=0.09$ をそのまま答えだと誤解したケース。並列化による差はA部分だけで見ると0.09ですが、Bが直列にあるため全体差はBの影響（乗算）で小さくなり $0.072$ になります。
• ウ 0.10
  典型的な誤り：並列の計算を単純に足し算（0.9+0.9=1.8 など）や別の誤った丸めで出した値。どのようにしても正しい計算からは出ません。
• エ 0.45
  明らかに大きすぎる誤答。例えば「直列/並列を入れ替えて計算した」か「故障率（0.1, 0.2）を誤って足した」など、確率の乗算・補集合の理解不足に由来します。

よくある誤解

1. 並列は単純に確率を足すと考える
   • 並列の正しい式は $1-(1-p_1)(1-p_2)...$。単純加算（例えば0.9+0.9）では確率として意味を成しません。
2. 冗長化で増える分はそのままシステム全体の差になると思う
   • 並列化でA部分が改善しても、その後に直列で依存する装置（ここではB）があれば、改善分はその後の装置の稼働率で割り引かれます。今回ならAの改善0.09がBの0.8で抑えられて0.072になります。

補足コラム

• 一般式（同じ稼働率 $p$ の装置を $n$ 台並列）
  $1-(1-p{)}^n$ が並列全体の稼働率です。増やせば信頼度は上がりますが、増分は次第に小さくなります（漸減する効果）。
• 直列接続は全ての装置が動作する必要があるため、全体稼働率は各装置の稼働率の積になります。
• 実務的に見ると、冗長化（並列）はコストや複雑さを増すので、どこに冗長化を置くか（下流の装置の信頼度も考慮）は重要です。今回の例はその典型です。

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