ITパスポート 2015年 春期 問62

二つの集合の関係（集合の基本）【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 「部分集合」を確認：証明は典型的に「任意の要素を取って、それがもう一方にも含まれることを示す」方法（要素論法）で行います。
2. 任意に $x\in (A\cap B)$ とする。
3. $x\in (A\cap B)$ ならば定義から $x\in A$ かつ $x\in B$。
4. 「$x\in A$ かつ $x\in B$」は論理的に「$x\in A$ または $x\in B$」を含む（かつはまたはを満たす）。
5. よって $x\in (A\cup B)$。任意の $x$ について成り立つので $(A\cap B)\subseteq (A\cup B)$ が証明できます。

選択肢別の誤答解説

• ア: 「$(A\cup B)$は、$(A\cap B)$でない集合の部分集合である。」
  誤りです。和集合は一般に積集合より大きい（または等しい）ので、和集合が積集合の部分集合になるとは限りません。例えば A={1,2}, B={2,3} とすると $(A\cup B)=1,2,3$、$(A\cap B)=2$ で、和集合が積集合に含まれることはありません。
• イ: 「$(A\cup B)$は、Aの部分集合である。」
  誤りです。和集合は A と B の両方の要素を含むため、A に含まれない B の要素があれば和集合は A を超えます。上と同じ例（A={1,2}, B={2,3}）で $(A\cup B)=1,2,3$ は A={1,2} の部分集合ではありません。成り立つのは、A が B を含む（B ⊆ A）のような特別な場合のみです。
• エ: 「$(A\cap B)$は、Aでない集合の部分集合である。」
  誤りです。「Aでない集合」という表現は通常 A の補集合（A に属さない全ての要素）を指すと解釈できますが、積集合は A に属する要素だけで構成されます。したがって積集合が A の外側にある（A に属さない）という主張は矛盾します。例：A={1,2}, B={2,3} なら $(A\cap B)=2$ は A に含まれます。よって「Aでない集合の部分集合」はあり得ません。

よくある誤解

• 誤解1: 「和集合は常に積集合の部分集合だ」と思う
  → 実際は逆で、積集合は和集合の部分集合です。直感では「和（または）は大きく、積（かつ）は小さい」と覚えるとよいです。
• 誤解2: 「部分集合＝真に小さい（必ず小さい）」と考える
  → 部分集合 $\subseteq$ は「同じ集合である」場合も含みます（等しい場合も OK）。必要なら「真部分集合」は $\subset$ や「真に小さい」という言い方で区別します。

補足コラム

• ベン図（Venn diagram：集合の関係を円で表す図）を描くと直感的に理解しやすいです。2つの円が重なる部分が積集合、両方の円全体（重なりも含む）が和集合です。重なり部分は両方に含まれるので、必ず両円のどちらか（または両方）に含まれることから、積集合は和集合の中にあります。
• よく使う関係まとめ（常に成り立つ）: $$A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B,A\cap B\subseteq B\subseteq A\cup B$$ この上下関係を覚えておくと選択肢の判断が速くなります。

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