ITパスポート 2016年 春期 問18

組立生産の利益最大化（製品Zの生産個数）【ITパスポート 解説】

正解の理由

• Y：3.0、W：2.5、Z：2.0、X：1.5 の順です。
  この順で可能な最大数まで生産し、残った時間で次の製品を生産すると、製品Zの生産個数は 20 個 になります。したがって正答は ウ（20個）です。

• 利益：ここでは「1個当たりの利益（千円）」を指します。
• 組立作業時間：製品1個を組み立てるのにかかる時間（分）。
• 組立作業1分当たりの利益：1分使うごとに得られる利益の量（効率）。

解法ステップ

1. 単位変換：1週間の総組立時間は 40時間 = $40\times 60=2400$ 分。
2. 各製品の「1分当たり利益」を確認（問題に表記済み）：
   • W：2.5（千円／分）
   • X：1.5（千円／分）
   • Y：3.0（千円／分）
   • Z：2.0（千円／分）
3. 効率の高い順に生産する（上から順に、各製品の最大生産可能数まで生産）。
   • まず Y（最も効率が良い）を最大の 20個 生産：
     • 時間消費：$20\times 30=600$ 分
     • 利益：$20\times 90=1800$ 千円
     • 残り時間：$2400-600=1800$ 分
   • 次に W を最大の 40個 生産：
     • 時間消費：$40\times 20=800$ 分
     • 利益：$40\times 50=2000$ 千円
     • 残り時間：$1800-800=1000$ 分
   • 次に Z を残り時間で可能なだけ生産：
     • 1個当たり 50 分なので生産可能個数は $\lfloor 1000/50\rfloor =20$ 個
     • よって Z の生産個数 = 20 個
     • 時間消費：$20\times 50=1000$ 分（ちょうど使い切る）
4. 残り時間がゼロになるためこれ以上生産できません。したがって製品Zは 20 個 生産します。

• Y: 1800 千円、W: 2000 千円、Z: 2000 千円 合計 = 5800 千円

選択肢別の誤答解説

• ア: 0
  「Z を生産しない」案は非効率です。効率の高い製品（Y, W）を生産しても残り時間でZを生産できるため、ゼロは最適ではありません。
• イ: 8
  8 個 という数は単位変換ミスや計算の途中ミスから出やすい数です（例：40時間を分に直さずに計算したり、残り時間を誤って求めたり）。正しい手順を踏むと 20 個 になります。
• ウ: 20
  上述の手順で導かれる正しい値です。効率順（Y→W→Z）に生産して残った時間ですべてZを作ると 20 個 になります。
• エ: 45
  これは Z の「1週間の最大生産可能数（45個）」をそのまま選んだ誤りです。時間制約（2400分）のため、他の効率の良い製品も生産する方が総利益は大きく、Z を最大まで作るのは最適ではありません。仮にZだけを作るなら最大45個まで作れますが、それは利益最大の配分ではありません。

よくある誤解

1. 単位（時間）変換ミス
   • 「40時間」をそのまま使って計算すると誤ります。表の作業時間が分なので、40時間＝2400分に直す必要があります。
2. 「1個当たりの利益（千円）」だけで判断する
   • 利益額だけを見ると Z（100千円）がもっとも高いと誤解しやすいです。しかし重要なのは「時間という制約の下でどれだけ効率良く稼げるか（千円／分）」です。
3. 最大生産可能数だけ見て決める
   • D列（1週間の最大生産可能数）は上限ですが、時間を使い切る最適配分は上限通りではないことが多いです。

補足コラム

• この問題は「限られた資源（時間）をどう配分して利益を最大化するか」を問う典型問題です。数学的には「単資源の線形最適化」や「ナップサック問題（荷物詰め問題）」の簡易版と考えられます。
• 「1分当たり利益」は英語で value per unit time や efficiency と呼ばれます。効率の高い順に割り当てる方法は、分数的（fractional）ナップサックでは常に最適ですが、個数が整数で上限がある場合も多くの問題で有効な解法になっています。ITパスポートのこの種の問題では、まず効率順位を確認するのが早くて確実です。

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