ITサービスマネージャ 2009年午前2 問21

問題文

1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUを

n

台用いたマルチプロセッサの性能

P

が、

P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}

で表されるとする。ここで、

a

はオーバヘッドを表す定数である。例えば、

a = 0.1

、

n = 4

とすると、

P ≃ 3

なので、4台のCPUからなるマルチプロセッサの性能は約3になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、

n

を幾ら大きくしてもある値以上には大きくならない。

a = 0.1

の場合、その値は幾らか。

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選択肢

ア：5

イ：10（正解）

ウ：15

エ：20

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マルチプロセッサ性能の上限【午前2解説】

正解の理由

性能は次の式で表されます。

P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}

n

を大きくしたときの上限を求めるため、分子と分母を

n

で割ります。

P = \frac{1}{\frac{1}{n} + ( 1 - \frac{1}{n} ) a}

n

を限りなく大きくすると、

\frac{1}{n}

は0に近づきます。そのため、

P ⟶ \frac{1}{a}

a = 0.1

を代入すると、上限は

\frac{1}{0.1} = 10

です。したがって、上限として正しいのはイです。

解法ステップ

性能の式を確認します。
$n$ を大きくしたときの極限を考えるため、分子と分母を $n$ で割ります。
$n$ が限りなく大きくなると、 $\frac{1}{n}$ は0に近づきます。
性能の上限は $\frac{1}{a}$ となるので、 $a = 0.1$ を代入して10を求めます。

選択肢別の誤答解説

ア：5
上限は $a$ の逆数です。 $a = 0.1$ の逆数は10であり、5にはなりません。
イ：10
上限の式 $\frac{1}{a}$ に $a = 0.1$ を代入すると、10になります。
ウ：15
$n$ を増やしたときの上限を正しく求めた値ではありません。
エ：20
$n$ を増やしても性能は無限に大きくならず、上限は10です。

よくある誤解

CPUを増やせば、性能も上限なく増えると考えることです。式の分母にも $n$ に応じて増える項があるため、性能には上限があります。
$a = 0.1$ をそのまま上限と考えることです。上限は $a$ ではなく、その逆数の $\frac{1}{a}$ です。
$n = 4$ のときの性能を、そのまま上限とみなすことです。上限は、 $n$ を限りなく大きくしたときの値です。

補足コラム

この式では、CPUの台数

n

を増やすほど性能は向上しますが、オーバヘッド

a

の影響によって伸びは次第に小さくなります。

n

を無限に増やした場合でも性能は

\frac{1}{a}

に近づくだけで、それを超えません。たとえば

a

が小さいほど上限は高くなり、並列処理に伴うオーバヘッドが小さいほど、多数のCPUを活用しやすくなります。

FAQ

なぜ上限が $a$ の逆数になるのですか？

n

が大きいとき、分母の主要な部分は

(n - 1) a

となり、分子・分母はそれぞれおよそ

n

、

na

になります。したがって、性能はおよそ

\frac{n}{na} = \frac{1}{a}

に近づきます。

$n$ を無限に大きくすれば、性能は上限に達しますか？

有限の

n

では上限に近づいていきますが、通常は上限そのものには達しません。上限は、

n

を限りなく大きくしたときの極限値です。

関連キーワード: マルチプロセッサ、並列処理、オーバヘッド、性能上限、極限値

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