ITストラテジスト 2019年 午前2 問21

資材制約の利益最大化【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 変数定義：$x$＝製品X台数、$y$＝製品Y台数（単位：台）。利益は $P=x+y$（万円）。
2. 制約式を立てる：
   • 部品A：$3x+2y\le 120$
   • 部品B：$x+2y\le 60$
   • 非負：$x\ge 0,y\ge 0$
3. 角点（境界線の交点）を求める。
   • 原点 $(0,0)$（利益 0）
   • $x=0$ のとき $2y\le 60\Rightarrow y\le 30$ → $(0,30)$（利益 30）
   • $y=0$ のとき $3x\le 120\Rightarrow x\le 40$ → $(40,0)$（利益 40）
   • 2直線の交点：解くと $$\{\begin{array}{l}3x+2y=120\\ x+2y=60\end{array}\Rightarrow 2x=60\Rightarrow x=30,y=15$$ → $(30,15)$（利益 45）
4. 角点での目的関数値を比較し最大を採る。最大値は 45（万円）で ウ。

選択肢別の誤答解説

• ア: 30
  これは $x=0$（Xを作らずYのみ作る）で制約 $x+2y\le 60$ より $y\le 30$ とした場合の利益 $y=30$（30万円）に対応します。Xのみのケースではありません。
• イ: 40
  これは $y=0$（Yを作らずXのみ作る）で $3x\le 120$ より $x\le 40$ とした場合の利益 $x=40$（40万円）に対応します。
• ウ: 45
  角点 $(x,y)=(30,15)$ での利益 $30+15=45$（万円）。条件を同時に満たす交点で最大となるため正解です。ウ。
• エ: 60
  利益60万円を達成するには $x+y=60$ が必要ですが、例えば $(0,60)$ や $(60,0)$ はいずれの制約も満たしません。したがって到達不可能な値です。

よくある誤解

• どちらか一方の資源制約だけを見て解を出してしまう（Aだけ、またはBだけで最大を判断する）。両方の制約を同時に満たす点を評価する必要があります。
• 「台数は整数だから角点以外を考える」と考える人がいますが、本問では連続変数でも整数でも、最適解は角点の整数解になっています（交点が整数）。ただし一般には整数条件があると別途整数計画が必要です。
• 交点の求め方を間違え、誤った直線の組合せで計算してしまう（どの2辺が交わるかを確認する）。

補足コラム

best = (-1,0,0)
for x in range(0,41):        # x<=40 が明らかなので上限を40に
    for y in range(0,31):    # y<=30 が明らかなので上限を30に
        if 3*x+2*y <= 120 and x+2*y <= 60:
            if x+y > best[0]:
                best = (x+y, x, y)
best  # (45, 30, 15)

FAQ