ネットワークスペシャリスト 2018年午前2 問23

問題文

1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUをn台用いたマルチプロセッサの性能Pが、

P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}

で表されるとする。ここで、aはオーバヘッドを表す定数である。例えば、a=0.1, n=4とすると、P≒3なので、4台のCPUから成るマルチプロセッサの性能は約3になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、nを幾ら大きくしてもPはある値以上には大きくならない。a=0.1の場合、Pの上限は幾らか

選択肢

ア：5

イ：10（正解）

ウ：15

エ：20

マルチプロセッサの性能上限計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論：性能の上限は $a$ の逆数 $\frac{1}{a}$ であり、 $a = 0.1$ なら上限は10です。
根拠：性能 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ の $n \to \infty$ の極限を考えると、分母の $(n - 1) a$ が支配的になるため、 $P$ は $\frac{1}{a}$ に収束します。
差がつくポイント：極限の考え方を理解し、分母のオーバヘッド $a$ が性能上限を決めることを正確に把握することが重要です。

正解の理由

選択肢イの「10」が正解です。
式の性能

P

は

n

が大きくなると、分母の

1 + (n - 1) a

の

(n - 1) a

が大きくなり、

P

は

n \to \infty lim \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a} = n \to \infty lim \frac{n}{( n - 1 ) a} = \frac{1}{a}

に収束します。

a = 0.1

なので、上限は

10

となります。

よくある誤解

$n$ を増やせば性能も無限に上がると誤解しがちですが、オーバヘッド $a$ が性能上限を制限します。
$a$ を無視して単純に $n$ 倍と考えると誤答につながります。

解法ステップ

性能式 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ を確認する。
$n$ を非常に大きくした場合の極限を考える。
分母の $1$ は無視できるほど小さくなるため、 $P \approx \frac{n}{( n - 1 ) a}$ となる。
$n \to \infty$ の極限で $\frac{n}{( n - 1 ) a} \to \frac{1}{a}$ と求まる。
$a = 0.1$ を代入し、性能上限は $10$ と判定する。

選択肢別の誤答解説

ア: 5
$a = 0.1$ の逆数は10なので、5は性能上限として小さすぎます。
イ: 10
正解。 $a = 0.1$ の逆数で性能上限を正しく表しています。
ウ: 15
$a = 0.1$ の逆数ではないため誤りです。
エ: 20
$a = 0.1$ の逆数の2倍であり、根拠がありません。

補足コラム

この式は「アムダールの法則」に類似しており、並列処理の性能向上には必ず限界があることを示しています。オーバヘッド

a

は通信や同期のコストを表し、これが性能向上のボトルネックとなります。

FAQ

Q: なぜ

n

が大きくなると

1

は無視できるのですか？
A:

n

が非常に大きい場合、

(n - 1) a

が

1

より圧倒的に大きくなるため、分母の

1

は性能にほとんど影響しません。

Q: オーバヘッド

a

が0の場合はどうなりますか？
A:

a = 0

ならオーバヘッドがなく、性能は理想的に

n

倍に増加し、上限は存在しません。

関連キーワード: マルチプロセッサ、性能上限、アムダールの法則、オーバヘッド、並列処理

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