システムアーキテクト 2013年午前2 問10

問題文

学生レコードを処理するプログラムをテストするために、実験計画法を用いてテストケースを決定する。学生レコード中のデータ項目（学生番号、科目コード、得点）を二つの状態で表す。テスト対象のデータ項目から任意に二つのデータ項目を選び、二つのデータ項目がとる状態の全ての組合せが必ず同一回数ずつ存在するように基準を設けた場合に、次の8通りのテストケースの候補のうち、最少で幾つを採択すればよいか。

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選択肢

ア：2

イ：3

ウ：4（正解）

エ：6

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3因子2水準の直交表【午前2解説】

正解の理由

設問は「任意に二つのデータ項目を選んだとき、その二つが取り得る全ての組合せが同一回数だけ現れる」ことを求めています。項目は「学生番号」「科目コード」「得点」の3つ、各々が2水準なので「3因子2水準（k=3, v=2）」の条件です。二因子の全組合せは

2 \times 2 = 4

通りありますから、各組合せが同一回数現れるためにはテストケース数

N

が 4 の倍数でなければなりません。従って最小の

N

は 4 です。よって選択肢はウ（4）が妥当です。これは直交配列表 L4（OA(4,3,2)）で満たせます。

解法ステップ

要求の意味を整理する：任意の2項目について、その2項目の全ての組合せ（2水準なら4通り）が同じ回数だけ出現すること。
因子数と水準数を確認する：因子 = 3（学生番号・科目コード・得点）、各因子の水準 = 2。
二因子の組合せ数を求める： $2 \times 2 = 4$ 通り。各組合せが同一回数現れるならば、各組合せの出現回数は $N /4$ （Nは全テストケース数）となる。
$N /4$ が整数である必要があるので、 $N$ は 4 の倍数。よって最小は $N = 4$ 。
実現可能性の確認：L4（OA(4,3,2））の存在により、4ケースで条件を満たせることを確認。

選択肢別の誤答解説

ア: 2
2ケースでは、任意の2因子の4通りの組合せを同一回数で出現させることは不可能です（ $N /4 = 0.5$ となり整数にならない）。
イ: 3
3ケースでも同様に $N /4$ が整数にならないため不適。均等出現の条件を満たせません。
ウ: 4
最小で可能な値です。OA(4,3,2)（L4直交表）を用いれば、3因子2水準のペアワイズ（t=2）で各組合せが同一回数（ちょうど1回）現れます。
エ: 6
6は4の倍数ではありません（ $6/4 = 1.5$ ）なので「同一回数」の条件を満たせない（一部の組合せが1回、一部が2回となる）ため不適。仮に「少なくとも1回」であれば6でも可能だが、本問は同一回数を要求している。

よくある誤解

「ペアワイズ＝各組合せを少なくとも1回出せば良い」と勘違いする。今回の条件は「同一回数」であり、等頻度の制約がある点が重要です。
因子数を誤認する（例えば「2因子」として扱う）。本問は学生番号・科目コード・得点の3因子であるため、直交表は L4（OA(4,3,2)）が対応します。

補足コラム

L4（直交配列表 OA(4,3,2)）の標準形（0/1で表現）一例は次の4行です（列が3因子に対応）：

0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
これを「0＝存在／数字である、1＝存在しない／数字でない」などと割り当てると、与えられた8候補の中から該当する4ケースを選んで条件を満たせます。例えば上の行に対応するテストケースの組み合わせとして、候補の No.1, No.4, No.6, No.7 を選べます（対応の仕方によって他の同値な組合せも可能）。

FAQ

Q. 「同一回数」ではなく「少なくとも1回」なら最小はいくつですか？
A. 2水準・3因子のペアワイズで全組合せを少なくとも1回ずつ含めるには、やはり4ケースが下限です。理由は任意の2因子で4通りの組合せを含めなければならず、1行で複数の組合せを同時に含めることはできないため最小は4です。

Q. L4以外に同じ条件を満たす選び方はありますか？
A. はい。直交表は列の順序入替や水準（0/1）の反転、行の並べ替えで同値な別表が得られます。実務では条件に合う任意の同値集合を選べばよいです。

関連キーワード: 直交配列表、L4、OA(4,3,2)、直交表、直交実験、組合せテスト、ペアワイズテスト

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