応用情報技術者 2009年春期午前2 問01

問題文

通信回線を使用したデータ伝送システムにM/M/1の待ち行列モデルを適用すると、平均回線待ち時間、平均伝送時間、回線利用率の関係は、次の式で表すことができる。　　

平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{回線利用率}{1 - 回線利用率}

　回線利用率が0%から徐々に上がっていく場合、平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも最初に長くなるのは、回線利用率が何%を超えたときか。

選択肢

ア：40

イ：50（正解）

ウ：60

エ：70

M/M/1待ち行列モデルにおける平均回線待ち時間の閾値【午前2 解説】

要点まとめ

結論：平均回線待ち時間が平均伝送時間を超えるのは回線利用率が50%を超えたときです。
根拠：式 $平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ}$ において、 $\frac{ρ}{1 - ρ} > 1$ となるのは $ρ > 0.5$ の場合です。
差がつくポイント：利用率の閾値を正確に理解し、分数の不等式を正しく解けるかが重要です。

正解の理由

平均回線待ち時間が平均伝送時間より長くなる条件は、

平均回線待ち時間 > 平均伝送時間

すなわち、

平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ} > 平均伝送時間

両辺を平均伝送時間で割ると、

\frac{ρ}{1 - ρ} > 1

これを解くと、

ρ > 1 - ρ \Rightarrow 2 ρ > 1 \Rightarrow ρ > 0.5

したがって、回線利用率が50%を超えた時点で平均回線待ち時間が平均伝送時間を上回ります。よって正解はイです。

よくある誤解

回線利用率が高くなるほど待ち時間が増えることは理解しても、閾値の計算で分数の不等式を誤り、60%や70%と答えてしまうことがあります。

解法ステップ

問題文の式を確認する。
「平均回線待ち時間が平均伝送時間より長い」条件を式で表す。
不等式を立てて平均伝送時間で両辺を割る。
分数の不等式を解き、 $ρ$ の範囲を求める。
選択肢の中から該当する値を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア（40%）： $\frac{0.4}{1 - 0.4} = \frac{0.4}{0.6} = 0.666... < 1$ で条件を満たさない。
イ（50%）： $\frac{0.5}{1 - 0.5} = 1$ でちょうど等しい。超えた瞬間から待ち時間が長くなる。
ウ（60%）： $\frac{0.6}{0.4} = 1.5 > 1$ だが、閾値は50%なので誤り。
エ（70%）： $\frac{0.7}{0.3} \approx 2.33 > 1$ だが、閾値は50%なので誤り。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、単一のサービスチャンネルで到着がポアソン過程、サービス時間が指数分布に従う場合の待ち行列理論モデルです。回線利用率

ρ

は到着率

λ

とサービス率

μ

の比

ρ = λ / μ

で表され、

ρ < 1

が安定運用の条件です。

FAQ

Q: なぜ回線利用率が1を超えるとシステムが不安定になるのですか？
A: 利用率が1を超えると到着率がサービス率を上回り、待ち行列が無限に増加し続けるためシステムが破綻します。

Q: M/M/1モデルで平均待ち時間を短くするにはどうすればよいですか？
A: サービス率を上げるか、到着率を下げて回線利用率を低く保つことが効果的です。

関連キーワード: M/M/1待ち行列モデル、回線利用率、平均待ち時間、待ち行列理論、通信回線

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