応用情報技術者 2009年春期午前2 問02

問題文

(1 + α)^{n}

の計算を、

1 + n \times α

で近似計算ができる条件として、適切なものはどれか。

選択肢

ア：

∣ α ∣

が1に比べて非常に小さい。（正解）

イ：

∣ α ∣

が

n

に比べて非常に大きい。

ウ：

∣ α \div n ∣

が1より大きい。

エ：

∣ n \times α ∣

が1より大きい。

$(1 + α)^{n}$ の近似計算条件【午前2 解説】

要点まとめ

結論： $(1 + α)^{n}$ を $1 + n \times α$ で近似するには、 $∣ α ∣$ が非常に小さいことが必要です。
根拠：二項定理の展開で高次の項が無視できるほど $α$ が小さい場合、一次の項だけで十分近似できます。
差がつくポイント： $α$ の大きさと $n$ の関係を正しく理解し、 $n \times α$ の大きさではなく $α$ 自体の絶対値の小ささに注目することが重要です。

正解の理由

選択肢アの「

∣ α ∣

が1に比べて非常に小さい」は、

(1 + α)^{n}

の二項展開において高次の

α

の項を無視できる条件として正しいです。
具体的には、

(1 + α)^{n} = 1 + n α + \frac{n ( n - 1 )}{2} α^{2} + \dots

となり、

α

が小さいほど

α^{2}

やそれ以上の項は無視でき、

1 + n α

で近似可能です。
他の選択肢は

α

の大きさや

n

との関係を誤解しており、近似の条件として不適切です。

よくある誤解

「

n \times α

が小さいことが条件」と誤解しやすいですが、実際は

α

自体が小さいことが重要です。
また、

∣ α ∣

が大きい場合は近似が成立しません。

解法ステップ

$(1 + α)^{n}$ の二項展開を思い出す。
近似式 $1 + n α$ は一次の項までの展開であることを確認。
高次の項を無視できる条件は $α$ が非常に小さいこと。
選択肢の中で $∣ α ∣$ が小さいことを示すものを選ぶ。
選択肢アが条件に合致することを判断。

選択肢別の誤答解説

ア: 正解。 $∣ α ∣$ が非常に小さいため高次の項を無視できる。
イ: $∣ α ∣$ が $n$ に比べて非常に大きいは誤り。 $α$ が大きいと近似は成立しない。
ウ: $∣ α \div n ∣$ が1より大きいは意味が異なり、近似条件とは無関係。
エ: $∣ n \times α ∣$ が1より大きいは高次の項が無視できない可能性が高く、近似に不適。

補足コラム

この近似は「一次近似」や「線形近似」と呼ばれ、微分の定義やテイラー展開の初項を利用しています。
特に

α

が小さい場合、計算コストを抑えつつ十分な精度を得られるため、数値計算や物理学の近似式で頻繁に使われます。

FAQ

Q: なぜ

n \times α

が小さいことではなく

α

が小さいことが重要ですか？
A:

n \times α

が大きくても

α

が小さければ高次の項は無視できるため、

α

の絶対値の小ささが近似の鍵です。

n

が大きい場合でもこの近似は使えますか？
A:

n

が大きいと高次の項の影響が大きくなるため、

α

が非常に小さい場合に限り有効です。

関連キーワード: 二項定理、近似計算、テイラー展開、一次近似、数値計算

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応用情報技術者 2009年 春期 午前2 問02

問題文

選択肢

(1+α)nの近似計算条件【午前2 解説】