応用情報技術者 2009年春期午前2 問05

問題文

次の数式は、ある細菌の第

n

世代の個数

f (n)

が1世代後にどのように変化するかを表現したものである。この漸化式の解釈として、1世代後の細菌の個数が、第

n

世代と比較してどのようになるかを説明しているものはどれか。　

f (n + 1) + 0.2 \times f (n) = 2 \times f (n)

選択肢

ア：1世代後の個数は、第世代の個数の1.8倍に増える。（正解）

イ：1世代後の個数は、第〃世代の個数の2.2倍に増える。

ウ：1世代後の個数は、第〃世代の個数の2倍になり、更に増殖後の20%が増える。

エ：1世代後の個数は、第〃世代の個数の2倍になるが、増殖後の20%が死ぬ。

漸化式による細菌個数の変化【午前2 解説】

要点まとめ

結論：1世代後の細菌の個数は、第 $n$ 世代の個数の1.8倍に増える。
根拠：漸化式を整理すると $f (n + 1) = 2 f (n) - 0.2 f (n) = 1.8 f (n)$ となるため。
差がつくポイント：漸化式の項を正しく移項・計算し、増減率を正確に読み取る力が問われる。

正解の理由

与えられた漸化式は

f (n + 1) + 0.2 \times f (n) = 2 \times f (n)

これを

f (n + 1)

について解くと、

f (n + 1) = 2 f (n) - 0.2 f (n) = 1.8 f (n)

つまり、1世代後の細菌の個数は第

n

世代の1.8倍になることを示しています。
したがって、選択肢アの「1世代後の個数は、第

n

世代の個数の1.8倍に増える。」が正解です。

よくある誤解

漸化式の両辺の項を正しく移項せず、

f (n + 1)

を誤って2倍や2.2倍と解釈するミスが多いです。
また、増殖後の増減率を混同し、増殖率と死滅率を誤って合算する誤解もあります。

解法ステップ

与えられた漸化式を確認する。
$f (n + 1)$ を左辺に単独で残すために、 $0.2 f (n)$ を右辺に移項する。
右辺の項をまとめて計算する。
$f (n + 1)$ が $f (n)$ の何倍かを求める。
選択肢の内容と比較し、正しい倍率を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 正解。漸化式から正しく倍率1.8倍を導出している。
イ: 2.2倍と誤って計算している。 $2 + 0.2$ と単純に足してしまう誤り。
ウ: 「2倍になり、更に増殖後の20%が増える」は漸化式の意味を誤解。20%は減算項であり増加ではない。
エ: 「2倍になるが20%が死ぬ」は近いが、実際は $2 f (n)$ から $0.2 f (n)$ を引いているため、結果は1.8倍であり2倍ではない。

補足コラム

漸化式は前の世代の値を用いて次の世代の値を表す式で、増減の割合を正確に読み取ることが重要です。
この問題のように項を移項して整理する基本的な操作は、数列や離散数学の基礎として頻出です。
また、細菌の増殖モデルでは増殖率と死滅率を正確に区別することが解析のポイントとなります。

FAQ

Q: 漸化式の項を移項するときの注意点は？
A: 項の符号を変えることを忘れず、等式のバランスを保つことが重要です。

Q: 1.8倍という倍率はどのように解釈すればよいですか？
A: 第

n

世代の細菌数に対して、1世代後は80%増加した状態を意味します。

関連キーワード: 漸化式、細菌増殖モデル、数列、増殖率、移項、基本計算

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応用情報技術者 2009年 春期 午前2 問05

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