応用情報技術者 2010年春期午前2 問04

問題文

連立一次方程式

{2 x + 3 y = 4 5 x + 6 y = 7

から、

x

の項の係数、

y

の項の係数、及び定数項だけを取り出した表(行列)を作り、基本操作 (1) 〜 (3)のいずれかを順次施すことによって、解

{x = - 1 y = 2

が得られた。表 (行列)が次のように左から右に推移する場合、同じ種類の基本操作が施された箇所の組合せはどれか。　〔基本操作〕　(1) ある行に0でない数を掛ける。　(2) ある行とほかの行を入れ替える。　(3) ある行にほかの行の定数倍を加える。

選択肢

ア：a と b

イ：b と c（正解）

ウ：a と c

エ：b と d

連立一次方程式の行列基本操作の識別【午前2 解説】

要点まとめ

結論：同じ種類の基本操作が施された箇所は「イ: b と c」である。
根拠：行の入れ替えは行の順序を変える操作であり、b と c の間で行列の行が入れ替わっている。
差がつくポイント：基本操作の特徴を正確に理解し、行列の変化を丁寧に追うことが重要である。

正解の理由

選択肢「イ: b と c」が正解です。
矢印bの前後で、1行目と2行目の行が入れ替わっています。これは基本操作(2)「ある行とほかの行を入れ替える」に該当します。
また、矢印cの前後でも同様に行の入れ替えが起きているため、b と c は同じ種類の操作（行の入れ替え）です。
他の矢印間では、行のスカラー倍や行の加算など異なる操作が行われているため、同じ種類の操作とは言えません。

よくある誤解

行列の数値変化だけで操作を判断し、行の入れ替えを見落としがちです。
また、行の加算とスカラー倍を混同しやすいので注意が必要です。

解法ステップ

各行列の変化を行ごとに比較し、どの行がどの位置にあるか確認する。
行の順序が変わっていれば基本操作(2)「行の入れ替え」と判断。
行の値がスカラー倍されていれば基本操作(1)、他の行の定数倍を加えていれば基本操作(3)。
各矢印間の操作を分類し、同じ種類の操作が行われている箇所を特定する。
選択肢と照合し、正しい組み合わせを選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: a と b
a は行の加算やスカラー倍の可能性があるが、b は行の入れ替え。操作が異なる。
イ: b と c
両方とも行の入れ替えで同じ操作。正解。
ウ: a と c
a は行の加算やスカラー倍、c は行の入れ替えで異なる操作。
エ: b と d
b は行の入れ替え、d は行のスカラー倍や加算の可能性が高く異なる操作。

補足コラム

連立一次方程式の解法で用いる行列の基本操作は、行列の形を簡単にして解を求めるための重要な手法です。
基本操作は「行のスカラー倍」「行の入れ替え」「行の加算」の3種類で、これらを適切に使い分けることが解法の鍵となります。
特に行の入れ替えは行の順序を変えるため、行列の見た目が大きく変わり判別しやすい特徴があります。