応用情報技術者 2011年春期午前2 問01

問題文

整数Aを整数Bで割った余り

re m (A, B)

が次のとおり定義されているとき、適切な式はどれか。　〔

re m (A, B)

の定義〕　

re m (A, B)

は、除数

B

と同じ符号をもつ整数又は0であり、その絶対値は、

B

の絶対値よりも小さい。ある整数

N

を選ぶことによって、　　

A = B \times N + re m (A, B)

が成立する。

選択肢

ア：rem(11, 5) = 2

イ：rem(11, -5) = -1

ウ：rem(12, -5) = -3（正解）

エ：rem(-11, 5) = 1

整数の余りの定義と計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論：余り $re m (A, B)$ は除数 $B$ と同じ符号を持ち、絶対値は $∣ B ∣$ より小さい整数である。
根拠：定義より、 $A = B \times N + re m (A, B)$ を満たし、 $re m (A, B)$ の符号は $B$ と一致する。
差がつくポイント：符号の扱いと余りの範囲を正確に理解し、符号が負の除数の場合の余りを誤らないこと。

正解の理由

選択肢ウの

re m (12, - 5) = - 3

は、除数

B = - 5

と同じ符号（負）を持ち、絶対値

3 < 5

であるため定義を満たします。
また、

12 = (- 5) \times (- 3) + (- 3)

となり、

N = - 3

を選べば式が成立します。これが正解の根拠です。

よくある誤解

余りは常に正の値と誤解しがちですが、除数の符号に合わせて余りの符号も変わります。
また、余りの絶対値が除数の絶対値未満であることを忘れると誤答につながります。

解法ステップ

除数 $B$ の符号を確認する。
余り $re m (A, B)$ は $B$ と同じ符号か0であることを確認。
余りの絶対値が $∣ B ∣$ より小さいか検証。
$A = B \times N + re m (A, B)$ となる整数 $N$ が存在するか計算。
以上の条件を満たす選択肢を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $re m (11, 5) = 2$ は余りの符号が正で絶対値も小さいが、 $11 = 5 \times 2 + 1$ で余りは1であり誤り。
イ: $re m (11, - 5) = - 1$ は符号は合うが、 $11 = (- 5) \times (- 2) + 1$ で余りは1であり誤り。
ウ: $re m (12, - 5) = - 3$ は定義を満たし正解。
エ: $re m (- 11, 5) = 1$ は余りの符号が除数と異なり誤り。正しくは余りは負か0。

補足コラム

余りの定義はプログラミング言語や数学の文脈で異なる場合があります。
特に符号の扱いは言語仕様に依存するため、試験問題の定義に従うことが重要です。
本問題は「除数と同じ符号の余り」という定義に基づいています。

FAQ

Q: 余りの符号は常に除数と同じですか？
A: はい、本問題の定義では余りの符号は除数と同じか0です。

Q: 余りの絶対値が除数の絶対値以上になることはありますか？
A: いいえ、余りの絶対値は常に除数の絶対値より小さくなります。

関連キーワード: 余りの定義、符号付き余り、整数除算、剰余演算、数学的除算

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