応用情報技術者 2011年 春期 午前2 問01

剰余の符号規則【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 除数Bの符号を確認する（正／負）。
2. 整数Nを適切に選び、$A-B\times N$ が「除数と同符号（または0）であり、絶対値が $|B|$ 未満」になるようにする。
3. 具体的には、数学的な床関数を使うと簡潔に求められる：整数商を $q=\lfloor A/B\rfloor$ とすると $rem(A,B)=A-B\lfloor A/B\rfloor$ が成り立ちます。特に実装ではPythonの // （床除算）やmath.floorを使うと誤りが少なくなります。

• B=-5（負）なので余りは負または0。
• A/B = 12/(-5) = -2.4、$\lfloor -2.4\rfloor =-3$ より $r=12-(-5)\times (-3)=-3$。

選択肢別の誤答解説

• ア: rem(11,5) = 2
  11 = 5×2 + 1で余りは1です。余りの符号（5と同符号の正）および絶対値条件は満たしますが、与えられた値2は成り立ちません。正しくはrem(11,5)=1。
• イ: rem(11,-5) = -1
  一見11 = (-5)×(-2) + 1と置けるため「余り1」が得られますが、余り1は除数 -5と符号が異なり定義に反します。正しいNを選ぶと11 = (-5)×(-3) + (-4) となり、rem(11,-5) = -4です（余りは除数と同符号=負、かつ |r|<5を満たす）。
• ウ: rem(12,-5) = -3
  上述のように12 = (-5)×(-3) + (-3) で余り -3は除数 -5と同符号かつ |−3|<5を満たすため正しい。
• エ: rem(-11,5) = 1
  -11 = 5×(-3) + 4で余りは4になります（除数5と同符号の正、かつ |4|<5）。したがってrem(-11,5)=4であり、1は誤りです。補足として「除数が正なら余りは非負（0以上）」です。

よくある誤解

1. 余りの符号は被除数（A）に合わせると誤る
   被除数の符号ではなく「除数（B）の符号」に合わせるのが定義です（もしくは0）。
2. 0方向への切り捨て（商を切り捨てる）で余りを求めると失敗する場合がある
   特に負の除数や被除数があると、商を「整数に単純に切り捨て（符号方向に切る）」する方法では定義条件を満たさない余りになることがあるため、数学的な床（floor）を使うのが安全です。
3. プログラミング言語の % の挙動をそのまま鵜呑みにすると危険
   言語によって剰余の定義が異なるため注意が必要です（下の補足参照）。

補足コラム

• 数学的定義（今回の定義）に沿う実用的な計算式は $rem(A,B)=A-B\lfloor A/B\rfloor$ です（$B\ne 0$）。この式は除数の符号に依存せず正しく余りを与えます。
• プログラミング言語の例：Pythonの A % B はこの数学的定義に従い、余りは除数Bと同符号になります（例: 11 % -5 = -4、-11 % 5 = 4）。一方、C言語の % 演算子は商の切り方向によって挙動が異なる歴史的経緯があり、言語仕様やバージョンによって扱いが異なるため注意が必要です。

A = 11
B = -5
import math
q = math.floor(A / B)   # -3
r = A - B * q           # -4
print(r)                # -4

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