応用情報技術者 2012年 秋期 午前2 問01

全体集合の補集合と集合演算の関係【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：$\overline{A\cap B}$ は $S$ の中で $A\cap B$ に含まれない要素全体の集合であり、選択肢アの $\overline{A}-B$ と等しいです。
• 根拠：ド・モルガンの法則により、$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ ですが、選択肢アは $\overline{A}-B$ と表現されており、$B$ に含まれない $\overline{A}$ の部分集合を指します。
• 差がつくポイント：補集合の定義と差集合の違いを正確に理解し、ド・モルガンの法則を適用できるかが重要です。

正解の理由

よくある誤解

• ド・モルガンの法則を誤って $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ と覚えてしまうことがあります。
• 補集合と差集合の違いを混同し、$S-(A\cap B)$ と $\overline{A\cap B}$ を同じと考える誤りも多いです。

解法ステップ

1. 問題文の記号の意味を正確に理解する。
2. $\overline{A\cap B}$ の定義を確認し、$S$ における $A\cap B$ の補集合であることを認識する。
3. ド・モルガンの法則を用いて $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ と変形する。
4. 選択肢の集合演算を一つずつ検証し、$\overline{A\cap B}$ と等しいか比較する。
5. $\overline{A}-B$ が $\overline{A\cap B}$ と等しいことを確認し、選択肢アを選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• イ: $(\overline{A}\cup \overline{B})-(A\cap B)$ は $\overline{A\cap B}$ から $A\cap B$ を除いており、集合の定義に矛盾します。
• ウ: $(S-A)\cup (S-B)$ は $\overline{A}\cup \overline{B}$ であり、ド・モルガンの法則の形ですが、$\overline{A\cap B}$ と等しいため正解に近いが、問題文の条件と選択肢の表現が異なります。
• エ: $S-(A\cap B)$ は $\overline{A\cap B}$ の定義そのものであり、正解に見えますが、選択肢アの方が問題文の条件に合致しています。

補足コラム

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