応用情報技術者 2012年 秋期 午前2 問01

ド・モルガンの法則【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 補集合の記号と差の定義を確認する：$\overline{X}=S-X$、$X-Y=X\cap \overline{Y}$。
2. 求める集合を書き直す：
   • まず $\overline{A\cap B}=S-(A\cap B)$（補集合の定義）。
   • ド・モルガンの法則で $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}=(S-A)\cup (S-B)$。
3. 各選択肢を順に式変形して比較する（下の「選択肢別の誤答解説」を参照）。

選択肢別の誤答解説

• ア: $\overline{A}-B=(S-A)-B=(S-A)\cap (S-B)=S-(A\cup B)$。これは補集合の積（= $S-(A\cup B)$）であり、求める $\overline{A\cap B}$（補集合の和）とは一般に異なります。特殊ケース（例えば $A=B$）を除き不正解です。
• イ: $(\overline{A}\cup \overline{B})-(A\cap B)$。まず $\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cap B}$ なので、この式は $\overline{A\cap B}-(A\cap B)$ になります。$\overline{A\cap B}$ と $A\cap B$ は互いに素なため差しても元の $\overline{A\cap B}$ が残り、結果は $\overline{A\cap B}$ と一致します。
• ウ: $(S-A)\cup (S-B)=\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cap B}$（ド・モルガン）。よって一致します。
• エ: $S-(A\cap B)$ は補集合の定義そのものなので、当然一致します。

よくある誤解

• 補集合の和と差を混同する：$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ と $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$ を混同すると誤答しやすいです。
• 差集合 $X-Y$ を単に「要素を引く」直感だけで扱う：差は結局 $X\cap \overline{Y}$ なので、まず共通の補集合表現に直してから考えるとミスが減ります。
• 「試験は単一正解」という先入観：同じ集合を表す異なる式が複数選択肢に含まれる場合があり得ます（本問ではその例です）。

補足コラム

• $S=\{1,2,3,4\}$、$A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$ のとき
  • $A\cap B=\{2\}$、$\overline{A\cap B}=\{1,3,4\}$
  • ア は $\overline{A}-B=\{3,4\}$（異なる）
  • ウ, エ は $\{1,3,4\}$（一致）

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