応用情報技術者 2012年秋期午前2 問01

問題文

全体集合

S

内に異なる部分集合

A

と

B

があるとき、

\overline{A} \cap \overline{B}

に等しいものはどれか。ここで、

A \cup B

は

A

と

B

の和集合、

A \cap B

は

A

と

B

の積集合、

\overline{A}

は

S

における

A

の補集合、

A - B

は

A

から

B

を除いた差集合を表す。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

選択肢

ア：

\overline{A} - B

（正解）

イ：

(\overline{A} \cup \overline{B}) - (A \cap B)

ウ：

(S - A) \cup (S - B)

エ：

S - (A \cap B)

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集合演算とド・モルガンの法則【午前2解説】

正解の理由

差集合

X - Y

は「Xに含まれ、Yに含まれない要素」の集まりなので、

X - Y = X \cap \overline{Y}

と書き換えられます。これをアに当てはめると

\overline{A} - B = \overline{A} \cap \overline{B}

となり、問われている集合と一致します。したがって正解はアです。

ベン図でいえば、

\overline{A} \cap \overline{B}

は「AにもBにも含まれない部分」です。

\overline{A}

（Aの外側）からBに含まれる部分を取り除くと、同じ部分が残ります。

解法ステップ

差集合を積集合で表す： $X - Y = X \cap \overline{Y}$ 、とくに $S - X = \overline{X}$ 。
各選択肢を、補集合と和集合・積集合だけの式に書き換える。
ド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ を使って整理し、 $\overline{A} \cap \overline{B}$ と比べる。

選択肢別の誤答解説

ア： $\overline{A} - B = \overline{A} \cap \overline{B}$ で、問われている集合そのものです。
イ： $\overline{A} \cup \overline{B}$ はド・モルガンの法則より $\overline{A \cap B}$ と等しく、 $A \cap B$ とは重なりません。そのため $A \cap B$ を取り除いても何も減らず、結果は $\overline{A} \cup \overline{B}$ です。「AとBの少なくとも一方に含まれない部分」なので、 $\overline{A} \cap \overline{B}$ より広くなります。
ウ： $(S - A) \cup (S - B) = \overline{A} \cup \overline{B}$ です。和集合（ $\cup$ ）であり、積集合（ $\cap$ ）ではありません。
エ： $S - (A \cap B) = \overline{A \cap B}$ で、ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cup \overline{B}$ になります。

よくある誤解

$\overline{A} \cap \overline{B}$ （AとBの両方の外側）と $\overline{A} \cup \overline{B}$ （AとBの少なくとも一方の外側）を取り違えること。ド・モルガンの法則では、補集合をとると $\cap$ と $\cup$ が入れ替わります。
イ、ウ、エの3つが同じ集合を表していることに気づかず、見た目の違いで迷うこと。書き換えると3つとも $\overline{A} \cup \overline{B}$ になるので、残るアが正解だと判断できます。

補足コラム

ド・モルガンの法則は

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}

と

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

の2つです。本問の

\overline{A} \cap \overline{B}

は、前者より

\overline{A \cup B}

（AとBの和集合の外側）とも表せます。

具体例で確かめると確実です。

S = {1, 2, 3, 4}

、

A = {1, 2}

、

B = {2, 3}

とすると、

\overline{A} \cap \overline{B} = {4}

で、アの

\overline{A} - B = {3, 4} - {2, 3} = {4}

と一致します。イ、ウ、エはいずれも

{1, 3, 4}

になります。

FAQ

Q. 差集合

X - Y

を

X \cap \overline{Y}

と書き換えてよいのはなぜですか？
A.

X - Y

は「Xに含まれ、かつYに含まれない要素」の集まりです。「Yに含まれない」は「

\overline{Y}

に含まれる」と同じ意味なので、

X \cap \overline{Y}

と表せます。

Q. 集合の問題を速く解くコツは？
A. まず差集合と

S -

の形を、すべて補集合と

\cap

で書き換えます。そのうえでド・モルガンの法則を使えば、式どうしを比べやすくなります。

関連キーワード: 集合演算、補集合、差集合、ド・モルガンの法則、ベン図

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