応用情報技術者 2012年秋期午前2 問02

問題文

食品A及び食品Bの各1gに含まれる三つの成分1〜3を調べたところ、含有量は表のようになった。成分1を70mg 以上、成分2を80mg以上摂取するとき、成分3の最小摂取量は何mg か。

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選択肢

ア：28

イ：31（正解）

ウ：32

エ：34

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成分最小摂取量【午前2解説】

正解の理由

食品Aを

x

（g）、食品Bを

y

（g）摂取すると、成分1〜3の摂取量はそれぞれ

成分1： $1 x + 4 y$ mg
成分2： $3 x + 2 y$ mg
成分3： $1 x + 1 y$ mg

条件は成分1が70 mg 以上、成分2が80 mg 以上なので

{x + 4 y \geq 70 3 x + 2 y \geq 80

これらを同時に満たす非負

(x, y)

のうち、成分3の合計

x + y

を最小化する問題です。最小値は通常制約の交点で達成されるため連立を等号として解くと

{x + 4 y = 70 3 x + 2 y = 80

を解き、

y = 13, x = 18

となり、成分3は

x + y = 18 + 13 = 31

mg となります。したがって選択肢イが正解です。

解法ステップ

変数定義：食品Aを $x$ g、食品Bを $y$ gとする。
条件式を立てる：
- 成分1： $x + 4 y \geq 70$
- 成分2： $3 x + 2 y \geq 80$
目的関数（最小化）：成分3 $= x + y$ を最小化する。
線形計画の常識より、最適解は可行領域の頂点にあるため境界で等号にする。連立を解く：
- $x + 4 y = 70$ を $3$ 倍： $3 x + 12 y = 210$
- そこから $3 x + 2 y = 80$ を引くと： $10 y = 130 \Rightarrow y = 13$
- $x = 70 - 4 y = 70 - 52 = 18$
最小成分3： $x + y = 18 + 13 = 31$ mg。

選択肢別の誤答解説

ア: 28
28 は $x + y = 28$ とした誤りに由来する値ですが、例えば $x = y = 14$ とすると成分1は $1 \cdot 14 + 4 \cdot 14 = 70$ で成分1は満たしますが成分2は $3 \cdot 14 + 2 \cdot 14 = 70$ で成分2の80を満たしません。よって28は可行解から導けない誤った値です。
イ: 31
上記の連立方程式を正しく解くと $x = 18, y = 13$ で成分3は31 mgになり、両方の条件を満たす中で最小になります。
ウ: 32
32 は計算誤差や連立の消去ミス（例： $y = 14, x = 18$ のように一方の式を誤用）で出ることがありますが、その組合せだと少なくとも一方の不等式を満たさないか、真の最小値より大きくなります。
エ: 34
34 は「片方だけで条件を満たす最小値」と混同した結果出ることが多い値です。例えば食品Bのみで成分2を満たすには $y \geq 40$ で成分3は40 mgになり、34 はいずれの自然な角でも説明できない誤値です。

よくある誤解

成分の係数を見落として「同じ量ずつ取ればよい」と誤認する（各成分の含有比率は食品ごとに異なる）。
最小化対象が成分3であるのに、成分1や成分2の余裕度だけで判断して端点（片方のみ大量摂取）を選ぶミス。
交点を求める際の計算ミス（連立方程式の消去で係数を誤る）で不正確な $(x, y)$ を出してしまう。

補足コラム

この種の問題は線形計画（Linear Programming）の単純な応用です。目的関数が

x + y

のように単調なとき、制約で定まる凸な可行領域の頂点（＝制約の交点や座標軸との交点）を調べれば最適解が得られます。今回のように係数が小さく整数解になりやすい場合もありますが、一般には実数解（グラムは連続量として扱える）が許される前提で解きます。

（連立方程式の別解法：行列やクラメルの公式でも同様に解けます。たとえばクラメルの公式で解くと同じ

x = 18, y = 13

が得られます。）

FAQ

Q1: x,yは整数でなければいけませんか？
A1: 問題文に特に整数制約がない限り実数（小数）でも可と考えます。ただし今回の最適解は整数になっています。

Q2: なぜ最小値が交点で決まるのですか？
A2: 線形目的関数は可行領域上で等値線が平行移動するため、最小値（または最大値）は可行領域の境界のうち最も内側に来る点、通常は頂点で達成されます。

Q3: 片方の食品だけで満たす場合の成分3はどうなる？
A3: 食品Aのみだと成分1を満たすには

x \geq 70

で成分3は70 mg。食品Bのみだと成分2を満たすには

y \geq 40

で成分3は40 mg。どちらも交点での31 mgより大きいです。

関連キーワード: 連立方程式, 線形計画, 可行領域, 最小化, 成分表, 交点算出

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