応用情報技術者 2012年 秋期 午前2 問03

ハミング符号のシンドローム【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 受信ビットを確認する： $y=(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6,y_7)=(1,1,0,0,0,1,0)$。
2. 各パリティ検査式を受信ビットで評価してシンドロームを求める。
   • $s_1=(y_1+y_2+y_3+y_5)\mathrm{mod}2=(1+1+0+0)\mathrm{mod}2=0$
   • $s_2=(y_1+y_2+y_4+y_6)\mathrm{mod}2=(1+1+0+1)\mathrm{mod}2=1$
   • $s_3=(y_2+y_3+y_4+y_7)\mathrm{mod}2=(1+0+0+0)\mathrm{mod}2=1$ よって $s=(0,1,1)$。
3. パリティ検査式の係数から各ビット位置 $j$ に対応する列ベクトル（パリティ行列の列）を作る。各列は「その位置のビットが各検査式に含まれるか」を示す。
   • 列1 = [1,1,0], 列2 = [1,1,1], 列3 = [1,0,1], 列4 = [0,1,1], 列5 = [1,0,0], 列6 = [0,1,0], 列7 = [0,0,1]
4. シンドローム $s$ と一致する列を探すと列4 = [0,1,1] が一致する ⇒ 誤りは位置4。
5. 受信ビットの位置4を反転する：$y_4=0\to 1$。送信符号は $1101010$。情報ビット $x_1\dots x_4=1101$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0100
  もし元の情報が 0100 であれば送信符号のビット列は異なり、今回のシンドロームからは位置4だけの誤りでは説明できません。具体的には今回のシンドロームは位置4の誤りを指し示すため、情報が0100になるためのビット反転は整合しません。
• イ: 1000
  同様に、1000 を情報とする送信符号と受信符号との差は単一ビットの反転で説明できない（位置の不一致）ため不正解です。
• ウ: 1100
  1100 の場合は位置4が0であるが、今回の解析で位置4を反転すると情報は1101になり、1100 とは一致しません。したがって不正解です。
• エ: 1101
  上記手順どおり誤りが位置4であるため、位置4を反転すると情報は 1101 になり、選択肢エが整合します（正解）。

よくある誤解

• シンドロームを「7進数」など別の基数で解釈する誤り。シンドロームはパリティ検査の結果を並べた二値ベクトルであり、基数の話ではありません。正しくは各パリティ検査式に対応するビット順での列ベクトルとして扱い、パリティ行列の列と比較します。
• ビット順の取り扱いミス。どの検査式が $s_1,s_2,s_3$ のどれに対応するかを明確にしないまま「逆順で解釈」すると誤った誤り位置を得ます。必ず問題で与えられた検査式の順序に従ってシンドロームを作ること。
• 「シンドロームが0なら必ず正しい」と考える誤解。シンドロームが $(0,0,0)$ なら単一ビット誤りはないが、複数ビット誤りや別の伝送障害が存在する可能性は残ります（本問は「高々1ビット」前提）。

補足コラム

FAQ