応用情報技術者 2012年 春期 午前2 問01
問題文
任意のオペランドに対するブール演算Aの結果とブール演算Bの結果が互いに否定の関係にあるとき、AはBの (又は、BはAの) 相補演算であるという。排他的論理和の相補演算はどれか。
選択肢
ア：（正解）
イ：
ウ：
エ：
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等価演算【午前2解説】
正解の理由
排他的論理和（XOR）はオペランドが異なるときに出力が1になる演算です。その相補演算（出力が逆になる演算）は「オペランドが等しいときに1になる演算」、すなわち等価演算（XNOR）です。したがって選択肢のうち正しいのは ア（等価演算）です。
解法ステップ
- XOR（排他的論理和）の定義を確認：出力が1となるのは入力が異なる場合のみ。
- 「相補演算」は結果ビットが常に反転している演算を指すことを確認：B = ¬Aの関係。
- XORの出力を全て反転した真理値表を作ると、入力が等しいときに1となる演算（等価演算）になることを確かめる。
- 他の候補（論理和、論理積、否定論理和）は上記の真理値変換に合致しないため除外する。
選択肢別の誤答解説
-
ア 等価演算
正解。XORの否定（補集合）は等価演算（XNOR）。論理式では と表せます。 -
イ 否定論理和（NOR）
誤り。NORは論理和（OR）の否定であり、論理和が1のときを反転した出力を返す演算です。NORとXORは別物であり、XORの相補ではありません。なお、NORとNAND（否定論理積）は混同しやすいですが、NOR = ¬(A ∨ B)、NAND = ¬(A ∧ B) であり意味が異なります。 -
ウ 論理積（AND）
誤り。AND は両方が1のとき1になる演算で、XORの出力を単に反転したものにはなりません。 -
エ 論理和（OR）
誤り。OR はいずれかが1のとき1になる演算であり、XORの相補とは一致しません。
よくある誤解
- NORとNANDを取り違える：NORは論理和の否定、NANDは論理積の否定で、どちらもXORの相補ではない点を混同しがちです。
- 「相補」を「片方だけ否定する」と誤解：相補演算は演算結果ビット全体を反転することで定義され、入力側の一部だけを否定する意味ではありません。
- 図の網掛けや領域で直感的に誤判断：ベン図や網掛けの表現に惑わされず、真理値表で確認する習慣をつけると確実です。
補足コラム
真理値表で確認すると一目瞭然です。
等価演算（XNOR）は論理式で次のように表せます：
ハードウェア実装ではXNORゲートとして用いられ、誤り検出やパリティ判定などで活用されます（XORの出力を反転すればXNORを得られます）。
ハードウェア実装ではXNORゲートとして用いられ、誤り検出やパリティ判定などで活用されます（XORの出力を反転すればXNORを得られます）。
FAQ
Q. 等価演算の記号は何ですか？
A. 表記は文献により異なりますが、XNORや ≡、⊙、↔ などで表されます。XORは ⊕ が一般的です。
A. 表記は文献により異なりますが、XNORや ≡、⊙、↔ などで表されます。XORは ⊕ が一般的です。
Q. XORとXNORは可換・結合法則が成り立ちますか？
A. XORは可換かつ結合的（A⊕B⊕Cの順序に依存しない）です。XNORも可換ですが、結合の扱いには注意が必要な記述法（括弧付け）があります。試験では真理値表や式変形で扱うのが安全です。
A. XORは可換かつ結合的（A⊕B⊕Cの順序に依存しない）です。XNORも可換ですが、結合の扱いには注意が必要な記述法（括弧付け）があります。試験では真理値表や式変形で扱うのが安全です。
Q. NORやNANDはいつ使うのですか？
A. NORは OR の否定、NANDは AND の否定で、どちらも汎用ゲートとして組み合わせることで任意の論理回路を構成できます。XOR/XNORとは用途が異なります。
A. NORは OR の否定、NANDは AND の否定で、どちらも汎用ゲートとして組み合わせることで任意の論理回路を構成できます。XOR/XNORとは用途が異なります。
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