応用情報技術者 2012年 春期 午前2 問02
問題文
M/M/1の待ち行列モデルにおいて、一定時間内に到着する客数の分布はどれか。
選択肢
ア：一様分布
イ：指数分布
ウ：正規分布
エ：ポアソン分布（正解）
M/M/1の待ち行列モデルにおける客数分布【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：M/M/1モデルの一定時間内の到着客数はポアソン分布に従います。
- 根拠：M/M/1は到着がポアソン過程（独立かつ一定平均率のランダム到着）で表されるためです。
- 差がつくポイント：到着間隔は指数分布、到着数はポアソン分布と混同しないことが重要です。
正解の理由
M/M/1待ち行列モデルでは、客の到着はポアソン過程で表現されます。ポアソン過程の特徴は、一定時間内に到着する客数がポアソン分布に従うことです。したがって、一定時間内の客数分布は「エ: ポアソン分布」が正解です。
よくある誤解
到着間隔が指数分布であるため、客数も指数分布と誤解しやすいですが、客数はポアソン分布です。正規分布や一様分布はこのモデルには適しません。
解法ステップ
- M/M/1モデルの「M」はメモリレス性を持つ到着・サービス過程を示す。
- 到着過程はポアソン過程で、到着間隔は指数分布に従う。
- ポアソン過程の性質から、一定時間内の到着客数はポアソン分布となる。
- 選択肢の中からポアソン分布を選ぶ。
選択肢別の誤答解説
- ア: 一様分布 — 到着はランダムで一定ではなく、一様分布は不適切。
- イ: 指数分布 — 到着間隔は指数分布だが、客数分布ではない。
- ウ: 正規分布 — 大数の法則で近似は可能だが、基本モデルではない。
- エ: ポアソン分布 — 正解。一定時間内の到着客数の分布。
補足コラム
M/M/1モデルは「Markovian（メモリレス）」な到着とサービスを仮定し、単一サーバーの待ち行列を表します。到着間隔が指数分布であるため、到着数はポアソン分布となり、これが待ち行列理論の基本的な性質です。
FAQ
Q: なぜ到着間隔は指数分布で、客数はポアソン分布なのですか？
A: 到着間隔が指数分布であることは、到着が独立かつ一定の平均率で起こることを意味し、その結果、一定時間内の到着数はポアソン分布に従います。
A: 到着間隔が指数分布であることは、到着が独立かつ一定の平均率で起こることを意味し、その結果、一定時間内の到着数はポアソン分布に従います。
Q: 正規分布は使えないのですか？
A: 大数の法則により大量の到着数では正規分布に近似できますが、基本モデルではポアソン分布が正しい表現です。
A: 大数の法則により大量の到着数では正規分布に近似できますが、基本モデルではポアソン分布が正しい表現です。
関連キーワード: 待ち行列理論、ポアソン過程、指数分布、M/M/1モデル、到着過程
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