応用情報技術者 2013年 秋期 午前2 問01

禁数字を除く番号数【午前2解説】

正解の理由

• 百の位が 0〜3 のとき：百の位は 4 通り、十位・一位はそれぞれ 8 通り → $4\times 8\times 8=256$ 通り（この中に 0000 が含まれる）
• 百の位が 4 のとき：百の位に 4 を使えないので 0 通り
• 百の位が 5 のとき：上限 0528 により十位は 0〜2 に制限される
  • 十位が 0 または 1 の場合：一位は 8 通り → $2\times 8=16$
  • 十位が 2 の場合：上限が 8 のため一位は {0,1,2,3,5,6,7,8} の 8 通り → $8$
    よって百の位が5のときは $16+8=24$ 通り。

解法ステップ

1. 4桁を桁ごとに扱う（千・百・十・一）。先頭ゼロを許容することを確認する（0001 のように管理）。
2. 「4」「9」を使わない数字集合を決める：{0,1,2,3,5,6,7,8}（8通り）。
3. 上限 0528 に合わせ、百の位で場合分けする：百の位 = 0〜3、4、5。
4. 各場合で十・一の選び方を数える（許される数字の個数、上限の影響を考慮）。
5. 合計から範囲外の 0000 を除く（発行は 0001 から始まるため）。

選択肢別の誤答解説

• ア（279）…本文で示した通り正しい。百の位での場合分けと 0000 の除外がポイント。
• イ（344）…正答より多い。よくある誤りは「百の位を 0〜5 の6通りと見て全て $6\times 8\times 8=384$ と数え、最終調整を誤る」か「百の位が4のブロックを除外し損なう」などの場合です。上限 0528 の制約や 0000 の除外を忘れるとこのような過大値になります。
• ウ（422）、エ（427）…いずれも正答より大きく、禁止数字（特に百の位が4の領域）を消し忘れるか、上限 0528 における十位・一位の制約を無視して「全桁8通り」をそのまま掛け合わせた結果になっている可能性が高いです。特に十位が 2 のとき一位の上限（≤8）を正しく扱わないと過大になります。

よくある誤解

• 「先頭ゼロは番号ではなく無視してよい」：先頭ゼロが許される表記（0001）が問題文に明示されているため、先頭ゼロを桁として数える必要があります。これを無視すると対象の桁数・範囲が変わります。
• 「各桁は常に8通りだから単純に掛け算すればよい」：上限 0528 のように特定の桁で上界がある場合、単純積は誤りになります。必ず上限に沿って場合分けすること。
• 「0000 も含む」と数えてしまう：実際の発行は 0001 からなので 0000 を除く必要がある点を忘れやすい。

補足コラム

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