応用情報技術者 2013年秋期午前2 問05

問題文

通信回線を使用したデータ伝送システムにM/M/1の待ち行列モデルを適用すると、平均回線待ち時間、平均伝送時間、回線利用率の関係は、次の式で表すことができる。　　

平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{回線利用率}{1 - 回線利用率}

　　回線利用率が0%から徐々に上がっていく場合、平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも最初に長くなるのは、回線利用率が何%を超えたときか。

選択肢

ア：40

イ：50（正解）

ウ：60

エ：70

M/M/1待ち行列モデルにおける平均回線待ち時間の閾値【午前2 解説】

要点まとめ

結論：平均回線待ち時間が平均伝送時間を超えるのは回線利用率が50%を超えたときです。
根拠：式 $平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ}$ において、 $\frac{ρ}{1 - ρ} > 1$ となるのは $ρ > 0.5$ の場合です。
差がつくポイント：利用率の閾値を正確に理解し、分数の不等式を正しく解けるかが合否を分けます。

正解の理由

平均回線待ち時間が平均伝送時間を超える条件は、

平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ} > 平均伝送時間

両辺を平均伝送時間で割ると、

\frac{ρ}{1 - ρ} > 1

これを解くと、

ρ > 1 - ρ \Rightarrow 2 ρ > 1 \Rightarrow ρ > 0.5

つまり、回線利用率が50%を超えた時点で平均回線待ち時間が平均伝送時間を上回ります。
したがって、正解はイ: 50です。

よくある誤解

回線利用率が高くなるほど待ち時間が増えることは理解しても、閾値の計算で分数の不等式を誤り、60%や70%と答えてしまうことがあります。

解法ステップ

問題の式を確認する： $平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ}$
「平均回線待ち時間が平均伝送時間より長い」条件を式で表す。
両辺を平均伝送時間で割り、 $\frac{ρ}{1 - ρ} > 1$ の不等式を得る。
不等式を解き、 $ρ > 0.5$ を導く。
選択肢の中から50%を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 40 — 利用率40%では $\frac{0.4}{0.6} = 0.666... < 1$ なので待ち時間は伝送時間未満です。
イ: 50 — 正解。 $\frac{0.5}{0.5} = 1$ でちょうど等しく、超えるのは50%を超えた時点。
ウ: 60 — 60%は正解より高く、正確な閾値を超えているため誤り。
エ: 70 — 70%も同様に誤り。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、単一のサービスチャネルに対して到着がポアソン過程、サービス時間が指数分布に従う場合の待ち行列理論モデルです。回線利用率

ρ

は到着率

λ

とサービス率

μ

の比

ρ = λ / μ

で表され、

ρ < 1

が安定運用の条件です。

FAQ

Q: なぜ回線利用率が50%を超えると待ち時間が急増するのですか？
A: 利用率が高まるとサービス待ちが増え、待ち時間が指数関数的に増加するためです。50%を超えると待ち時間が伝送時間を上回ります。

Q: M/M/1モデルで回線利用率が1を超えることはありますか？
A: いいえ。

ρ \geq 1

はシステムが過負荷状態であり、待ち行列が無限に増加し安定しません。

関連キーワード: M/M/1待ち行列、回線利用率、平均待ち時間、待ち行列理論、通信回線

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応用情報技術者 2013年 秋期 午前2 問05

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