応用情報技術者 2013年秋期午前2 問05

問題文

通信回線を使用したデータ伝送システムにM/M/1の待ち行列モデルを適用すると、平均回線待ち時間、平均伝送時間、回線利用率の関係は、次の式で表すことができる。　　

平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{回線利用率}{1 - 回線利用率}

　　回線利用率が0%から徐々に上がっていく場合、平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも最初に長くなるのは、回線利用率が何%を超えたときか。

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ア：40

イ：50（正解）

ウ：60

エ：70

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M/M/1モデルの関係式

平均回線待ち時間 = 平均伝送時間 \times \frac{ρ}{1 - ρ}

に注目します。平均回線待ち時間が平均伝送時間より長くなる条件は

\frac{ρ}{1 - ρ} > 1

を満たすことです。この不等式を解くと

ρ > 0.5

となるため、回線利用率が50%を超えた時点で平均回線待ち時間が平均伝送時間を上回ります。したがって選択肢の中ではイが該当します。

与えられた式を確認する： $W_{q} = S \cdot \frac{ρ}{1 - ρ}$ （ $W_{q}$ は平均回線待ち時間、 $S$ は平均伝送時間、 $ρ$ は回線利用率）。
「待ち時間が伝送時間より長い」ことを式で表す： $W_{q} > S$ 。
代入して不等式を整理する： $S \cdot \frac{ρ}{1 - ρ} > S$ 両辺を $S > 0$ で割ると $\frac{ρ}{1 - ρ} > 1$
両辺を整理して $ρ > 1 - ρ$ 、すなわち $2 ρ > 1$ より $ρ > 0.5$ 。
よって回線利用率が50%を超えたときに初めて平均回線待ち時間が平均伝送時間を上回る。

ア: 40
$\frac{0.4}{1 - 0.4} = \frac{0.4}{0.6} = 0.666 \dots$ で、待ち時間は伝送時間より短い（ $< 1$ ）。よって不適。
イ: 50
$\frac{0.5}{1 - 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ で、待ち時間＝伝送時間。問題文の「超えたとき（より長くなる）」の境界は50%であり、この選択肢が閾値を表すため該当。
ウ: 60
$\frac{0.6}{0.4} = 1.5$ で待ち時間は伝送時間より長いが、「最初に長くなる」瞬間は60%より前（50%超）であるため、閾値としては不適。
エ: 70
同様に待ち時間はさらに大きくなるが、閾値ではない。

「待ち時間は指数関数的に増える」と表現するミス：実際は $1/ (1 - ρ)$ に比例して増加し、 $ρ \to 1$ で発散します。これは双曲線的に急増する振る舞いであり、指数関数的増加とは異なります。
「50%で既に長い」と考える誤り： $ρ = 50%$ は待ち時間と伝送時間が等しい境界です。問題の語尾が「超えたとき（より長くなる）」なので、境界値として50%を答えるのが正しい理解。
待ち時間とシステム全体時間を混同する：平均回線待ち時間（キュー内の待ち）と平均伝送時間（サービス時間）は別概念です。合計（待ち＋伝送）を比較してしまわないよう注意。

M/M/1の基本式を整理すると、平均待ち時間（キューでの待ち） $W_{q}$ と平均系内滞在時間（待ち＋サービス） $W$ は次のようになります。サービス率を $μ$ 、到着率を $λ$ とすると $ρ = λ / μ$ 、平均サービス時間 $S = 1/ μ$ です。 $W_{q} = S \cdot \frac{ρ}{1 - ρ}, W = S \cdot \frac{1}{1 - ρ}$ $W$ が $S$ の何倍になっているかは $\frac{1}{1 - ρ}$ で表され、利用率が高くなるほど系全体の遅延が急増します。
数値例： $ρ = 0.4$ のとき $W_{q} = 0.667 S$ 、 $ρ = 0.6$ のとき $W_{q} = 1.5 S$ 、 $ρ = 0.7$ のとき $W_{q} \approx 2.333 S$ 。

Q1. 「超えたとき」と「以上」の違いは？
A1. 「超えたとき」は厳密に「より大きい（>）」を意味します。境界値を問う設問では閾値そのもの（この場合50%）を答えるのが一般的です。

Q2. 利用率が1に近づくと何が起きる？
A2. 平均待ち時間は

1/ (1 - ρ)

に従って発散し、任意に大きくなります（システムは不安定に近づく）。これは双曲線的な急増であり、指数関数的増加ではありません。

Q3. 問題での「平均伝送時間」は本当に

1/ μ

でよい？
A3. はい。M/M/1モデルでの平均サービス時間（ここでは伝送にかかる時間）は

S = 1/ μ

です。

関連キーワード: M/M/1、待ち行列、利用率、平均待ち時間、平均伝送時間、安定性、

1/ (1 - ρ)

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