応用情報技術者 2013年秋期午前2 問04

問題文

論理式 P, Qがいずれも真であるとき、論理式 Rの真偽にかかわらず真になる式はどれか。ここで、“

”は否定、“∨”は論理和、“∧” は論理積、“→“ は含意(“真→偽“となるときに限り偽となる演算)を表す。

選択肢

ア：

((P \to Q) \land (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})

イ：

((P \to Q) \land (\overline{Q \to \overline{P}})) \to (Q \to R)

ウ：

((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to P)) \to (R \to \overline{Q})

エ：

((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to \overline{P})) \to (Q \to R)

（正解）

論理式の真偽判定問題【午前2 解説】

要点まとめ

結論：P, Qがともに真のとき、論理式エはRの真偽に関わらず常に真となる。
根拠：P, Qが真ならば前件の論理和部分が偽となり、含意全体が真になるため。
差がつくポイント：含意の真偽条件と否定の扱いを正確に理解し、前件の論理式の真偽を丁寧に検証すること。

正解の理由

選択肢エは、

((P \to \overline{Q}) \lor (Q \to \overline{P})) \to (Q \to R)

です。
P, Qがともに真のとき、

P \to \overline{Q}

は「真→偽」で偽、

Q \to \overline{P}

も同様に偽です。
したがって、前件の論理和は偽となります。含意は「偽→任意」で常に真となるため、Rの真偽に関わらず式全体が真となります。

よくある誤解

含意の真偽判定で「前件が偽なら含意は偽」と誤解しやすいですが、実際は「偽→任意」は常に真です。
また、否定の扱いを誤り、

\overline{Q}

や

\overline{P}

の意味を混同することも多いです。

解法ステップ

P, Qがともに真であることを確認する。
各選択肢の前件部分の論理式をP=真、Q=真で評価する。
含意の真偽判定ルール「前件が偽なら含意は真」を適用する。
後件の真偽にかかわらず式全体が真となるかを判断する。
条件を満たす選択肢を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 前件は $(P \to Q) \land (Q \to P)$ で真、後件は $R \to \overline{Q}$ 。 $Q$ が真なので後件は $R$ の真偽に依存し、常に真とはならない。
イ: 前件の一部が否定されており、P=Q=真で前件は真。後件は $Q \to R$ で $R$ の真偽に依存し、常に真ではない。
ウ: 前件は $(P \to \overline{Q}) \lor (Q \to P)$ 。 $P \to \overline{Q}$ は偽、 $Q \to P$ は真なので前件は真。後件は $R \to \overline{Q}$ で $R$ の真偽に依存し、常に真ではない。
エ: 前件は偽、含意は常に真となるため正解。

補足コラム

含意

A \to B

は「

A

が真かつ

B

が偽」の場合のみ偽となり、それ以外は真です。
この性質は論理回路設計やプログラミングの条件分岐で重要な基礎知識です。
また、否定記号

は論理値を反転させるため、真偽判定時に注意が必要です。

FAQ

Q: 含意の真偽判定で前件が偽ならなぜ常に真になるのですか？
A: 含意は「前件が真で後件が偽」の場合のみ偽となるため、前件が偽なら条件が成立しないので真とみなされます。

Q: 否定記号

はどう扱えばよいですか？
A: 真なら偽に、偽なら真に反転させる演算子です。論理式評価時に必ず元の値を反転させて考えます。

関連キーワード: 含意、論理式、否定、論理和、論理積、真偽判定

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応用情報技術者 2013年 秋期 午前2 問04

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