応用情報技術者 2013年秋期午前2 問33

問題文

ビット誤り率が10%の伝送路を使ってビットデータを送る。誤り率を改善するために、送信側は元データの各ビットを3回ずつ連続して送信し、受信側は多数決をとって元データを復元する処理を行う。このとき、復元されたデータのビット誤り率はおよそ何%か。ここで、伝送路におけるビットデータの増減や、同期方法については考慮しないものとする。

選択肢

ア：1.0

イ：2.8（正解）

ウ：3.1

エ：3.3

ビット誤り率の多数決復元【午前2 解説】

要点まとめ

結論：3回送信して多数決をとると、復元後のビット誤り率は約2.8%に低減されます。
根拠：元の誤り率10%のビットが3回送信され、2回以上誤る確率を計算することで求められます。
差がつくポイント：誤り率の計算において「2回以上誤る確率」を正しく二項分布で求めることが重要です。

正解の理由

元のビット誤り率が10%（

p = 0.1

）の伝送路で、同じビットを3回連続送信し、受信側で多数決をとる場合、復元誤りは「3回中2回以上誤る」確率です。
具体的には、誤りが2回起きる確率と3回起きる確率の和を計算します。

P (誤り) = (2 3) p^{2} (1 - p)^{1} + (3 3) p^{3} = 3 \times 0. 1^{2} \times 0.9 + 1 \times 0. 1^{3} = 0.027 + 0.001 = 0.028

これより約2.8%となり、選択肢の中ではイが正解です。

よくある誤解

多数決の誤り率は単純に元の誤り率の3分の1や半分になると誤解しがちです。実際は二項分布で「2回以上誤る確率」を計算する必要があります。

解法ステップ

元のビット誤り率 $p = 0.1$ を確認する。
3回連続送信し、多数決で復元することを理解する。
復元誤りは「2回以上誤る」場合なので、 $k = 2, 3$ の確率を計算する。
二項分布の式を用いて、 $P (k = 2) = (2 3) p^{2} (1 - p)$ を計算。
$P (k = 3) = (3 3) p^{3}$ を計算。
これらを足して復元誤り率を求める。
結果をパーセント表示し、選択肢と照合する。

選択肢別の誤答解説

ア: 1.0%
→ 誤り率を過小評価。多数決の誤りは2回以上誤る確率であり、1%は計算結果より低すぎます。
イ: 2.8%
→ 正解。二項分布で正しく計算した結果と一致します。
ウ: 3.1%
→ やや過大評価。計算誤差や誤った確率の足し方による可能性があります。
エ: 3.3%
→ さらに過大評価。誤り率の計算で誤った仮定をしている可能性があります。

補足コラム

多数決復元は「繰り返し符号化」の一種で、誤り訂正の基本的な手法です。ビット誤り率が高い伝送路での信頼性向上に有効ですが、伝送量が3倍になるため帯域効率は低下します。より効率的な誤り訂正符号（例えばハミング符号や畳み込み符号）もあります。

FAQ

Q: なぜ2回以上誤る確率を計算するのですか？
A: 多数決で誤るのは、3回中2回以上誤った場合のみだからです。1回だけ誤っても多数は正しいビットです。

Q: 3回送信して多数決をとる方法の欠点は？
A: 伝送量が3倍になるため、帯域幅や送信時間が増加し効率が悪くなります。

関連キーワード: ビット誤り率、多数決復元、二項分布、繰り返し符号化、誤り訂正

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応用情報技術者 2013年 秋期 午前2 問33

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