応用情報技術者 2013年 春期 午前2 問02

$\overline{(A\cup B)\cap (\overline{A}\cup \overline{B})}$と等価な集合はどれか【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：$\overline{(A\cup B)\cap (\overline{A}\cup \overline{B})}$は$(\overline{A}\cup B)\cap (A\cup \overline{B})$と等価であり、選択肢アが正解です。
• 根拠：ド・モルガンの法則と分配法則を用いて式を変形し、補集合の扱いを正確に行うことで等価式を導けます。
• 差がつくポイント：補集合の分配や集合演算の基本法則を正確に理解し、複雑な式を段階的に簡略化できるかが合否を分けます。

正解の理由

よくある誤解

解法ステップ

1. 元の式を確認：$\overline{(A\cup B)\cap (\overline{A}\cup \overline{B})}$
2. ド・モルガンの法則を適用し、補集合を分配：
   $\overline{X\cap Y}=\overline{X}\cup \overline{Y}$
   より、 $=\overline{(A\cup B)}\cup \overline{(\overline{A}\cup \overline{B})}$
3. それぞれの補集合を展開：
   $\overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cap \overline{B}$
   $\overline{(\overline{A}\cup \overline{B})}=A\cap B$
4. よって、式は
   $(\overline{A}\cap \overline{B})\cup (A\cap B)$
5. これを選択肢の形に変形し、分配法則を使って選択肢アの式と同値であることを確認する。

選択肢別の誤答解説

• イ: $(\overline{A}\cup \overline{B})\cap (A\cup B)$は元の式の中間部分であり、補集合を取った形ではないため不正解です。
• ウ: $(\overline{A}\cap B)\cup (A\cap \overline{B})$は排他的論理和（XOR）に相当し、元の式とは異なります。
• エ: $(\overline{A}\cap \overline{B})\cap (A\cup B)$は空集合に近い形で、元の式の補集合とは異なります。

補足コラム

FAQ