応用情報技術者 2014年秋期午前2 問03

問題文

コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは、伝票データをためる待ち行列をもち,M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間が T 秒以上となるのは、処理装置の利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで、伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。　・伝票データは、ポアソン分布に従って発生する。　・伝票データのたまる数に制限はない。　・1件の伝票データの処理時間は、平均T秒の指数分布に従う。

選択肢

ア：33

イ：50（正解）

ウ：67

エ：80

M/M/1待ち行列モデルにおける平均待ち時間の利用率閾値【午前2 解説】

要点まとめ

結論：平均待ち時間が $T$ 秒以上になるのは、処理装置の利用率が50%以上のときです。
根拠：M/M/1モデルの平均待ち時間 $W_{q}$ は $\frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}$ で、 $ρ = 0.5$ で $W_{q} = T$ となるため。
差がつくポイント：利用率 $ρ$ の定義と平均待ち時間の公式を正確に理解し、問題の条件と照合できるかが鍵です。

正解の理由

M/M/1待ち行列モデルでは、到着率

λ

、サービス率

μ

、利用率

ρ = \frac{λ}{μ}

と定義されます。
平均待ち時間

W_{q}

は次の式で表されます。

W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}

ここで、1件の処理時間の平均が

T

秒なので、サービス率は

μ = \frac{1}{T}

。
問題文の「平均待ち時間が

T

秒以上」とは、

W_{q} \geq T

を意味します。
式に代入すると、

\frac{ρ}{\frac{1}{T} ( 1 - ρ )} \geq T \Rightarrow \frac{ρT}{1 - ρ} \geq T

両辺

T

で割ると、

\frac{ρ}{1 - ρ} \geq 1 \Rightarrow ρ \geq 1 - ρ \Rightarrow 2 ρ \geq 1 \Rightarrow ρ \geq 0.5

つまり、利用率が50%以上で平均待ち時間が

T

秒以上となります。
したがって、正解はイ: 50です。

よくある誤解

利用率が高いほど待ち時間が長くなることは理解しても、平均待ち時間の具体的な式を使わずに直感だけで判断し、誤った閾値を選ぶことがあります。
また、サービス時間の平均と待ち時間を混同しやすい点にも注意が必要です。

解法ステップ

M/M/1モデルの基本パラメータを確認する（ $λ$ 、 $μ$ 、 $ρ$ ）。
平均サービス時間 $T$ 秒からサービス率 $μ = 1/ T$ を求める。
平均待ち時間 $W_{q}$ の公式 $W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}$ を用いる。
条件 $W_{q} \geq T$ を式に代入し、 $ρ$ の不等式を解く。
$ρ \geq 0.5$ となることから、利用率50%以上が閾値と判定する。

選択肢別の誤答解説

ア: 33%
利用率33%では平均待ち時間は $T /2$ 程度で、 $T$ 秒以上にはならず誤り。
イ: 50%
正解。計算により平均待ち時間が $T$ 秒以上となる最小の利用率。
ウ: 67%
67%は確かに待ち時間は $T$ 秒以上だが、閾値としては高すぎる。
エ: 80%
80%も待ち時間は $T$ 秒以上だが、問題の最小値ではないため誤り。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、到着がポアソン分布、サービス時間が指数分布である単一サーバの待ち行列モデルです。
利用率

ρ

が1に近づくほど待ち時間は無限大に発散し、システムの性能が著しく低下します。
このモデルは通信ネットワークやコンピュータシステムの性能評価に広く用いられています。

FAQ

Q: なぜ平均待ち時間

W_{q}

は

\frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )}

なのですか？
A: M/M/1モデルの理論的導出により、到着率とサービス率の関係からこの式が得られます。利用率が高いほど待ち時間が増加することを示しています。

Q: 利用率が50%未満なら待ち時間は常に

T

秒未満ですか？
A: はい。

ρ < 0.5

なら平均待ち時間

W_{q}

は

T

秒未満となります。

関連キーワード: M/M/1待ち行列、利用率、平均待ち時間、ポアソン分布、指数分布、待ち行列モデル

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応用情報技術者 2014年 秋期 午前2 問03

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