応用情報技術者 2014年秋期午前2 問02

問題文

4 n

ビットを用いて整数を表現するとき、符号なし固定小数点表示法で表現できる最大値を

a

とし、BCD (2進化 10進符号)で表現できる最大値を

b

とする。

n

が大きくなると

a ／ b

はどれに近づくか。

選択肢

ア：

(15 ／ 9) \times n

イ：

(15 ／ 9)^{n}

ウ：

(16 ／ 10) \times n

エ：

(16 ／ 10)^{n}

（正解）

$4 n$ ビットの符号なし固定小数点表示法とBCDの最大値比【午前2 解説】

要点まとめ

結論： $4 n$ ビットで表現できる符号なし固定小数点の最大値 $a$ とBCDの最大値 $b$ の比は、 $n$ が大きくなると $(16/10)^{n}$ に近づきます。
根拠：固定小数点は4ビットで $2^{4} = 16$ 段階、BCDは4ビットで10進数1桁（0〜9）を表すため、1桁あたりの最大値の比は $16/10$ 。
差がつくポイント：指数的に増加するため、 $n$ が大きくなると単純な比例ではなく、 $(16/10)^{n}$ の形で比が拡大する点を理解することが重要です。

正解の理由

符号なし固定小数点表示法では4ビットで

2^{4} = 16

段階（0〜15）を表現します。一方、BCDは4ビットで1桁の10進数（0〜9）を表します。

n

桁分のビット数は

4 n

ビットで同じですが、固定小数点は

1 6^{n}

通り、BCDは

1 0^{n}

通りの値を表現可能です。
したがって、最大値の比

a / b

は

\frac{1 6 ^{n} - 1}{1 0 ^{n} - 1} \approx (\frac{16}{10})^{n}

となり、選択肢の中でこれに該当するのはエ:

(16/10)^{n}

です。

よくある誤解

4ビットあたりの最大値を単純に足し算や比例で考え、指数的増加を見落とすことがあります。
BCDの1桁は10進数0〜9であるため、16進数の16段階とは異なることを混同しやすいです。

解法ステップ

4ビットで表現できる最大値を固定小数点とBCDで確認する（固定小数点は $2^{4} = 16$ 、BCDは10）。
$4 n$ ビットで $n$ 桁分の最大値を計算する（固定小数点は $1 6^{n}$ 、BCDは $1 0^{n}$ ）。
最大値の比 $a / b$ を計算し、近似的に $(16/10)^{n}$ となることを理解する。
選択肢の中から指数関数的な形で $(16/10)^{n}$ を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $(15/9) \times n$
→ 15や9は最大値ではなく、また比例関係であり指数的増加を表していません。
イ: $(15/9)^{n}$
→ 最大値の基数が誤っており、15や9は4ビットの最大値ではありません。
ウ: $(16/10) \times n$
→ 比例関係であり、 $n$ が大きくなると比が指数的に増加する点を無視しています。
エ: $(16/10)^{n}$
→ 正しく指数的に増加し、4ビットあたりの最大値の比を反映しています。

補足コラム

BCD（Binary Coded Decimal）は1桁の10進数を4ビットで表現し、計算機内部で10進数を扱いやすくする方式です。
一方、固定小数点表現は2進数の範囲を均等に割り当てるため、4ビットで16段階の値を表現します。
この違いが最大値の表現範囲に大きな差を生み、特に桁数が増えると指数的な差が顕著になります。

FAQ

Q: なぜ最大値の比は単純な比例ではなく指数になるのですか？
A: 4ビットごとに独立した桁を表すため、全体の最大値は各桁の最大値の積（累乗）になるからです。

Q: BCDはなぜ10進数1桁を4ビットで表すのですか？
A: 10進数の0〜9を表すために最低限必要なビット数が4ビットであり、余分なビットは使われません。

関連キーワード: 固定小数点、BCD, 2進化10進符号、表現範囲、最大値比較

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応用情報技術者 2014年 秋期 午前2 問02

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選択肢

4nビットの符号なし固定小数点表示法とBCDの最大値比【午前2 解説】