応用情報技術者 2014年春期午前2 問01

問題文

2進数で表現すると無限小数になる10進小数はどれか。

選択肢

ア：0.375

イ：0.45（正解）

ウ：0.625

エ：0.75

2進数で表現すると無限小数になる10進小数はどれか【午前2 解説】

要点まとめ

結論：10進小数のうち、分母が2のべき乗で表せない数は2進数で無限小数になるため、0.45が正解です。
根拠：2進数は分母が $2^{n}$ の分数のみ有限小数で表現可能で、それ以外は無限小数となります。
差がつくポイント：分数の約分と分母の素因数分解を理解し、2進数表現の有限・無限を判断できるかが鍵です。

正解の理由

0.45は分数で表すと

\frac{45}{100} = \frac{9}{20}

となり、分母20は

2^{2} \times 5

で5が含まれています。2進数は2のべき乗の分母のみ有限小数になるため、0.45は2進数で無限小数になります。
一方、0.375（

\frac{3}{8}

）、0.625（

\frac{5}{8}

）、0.75（

\frac{3}{4}

）は分母がすべて8や4など2のべき乗なので有限小数です。

よくある誤解

分母が10の倍数だからすべて無限小数になると思いがちですが、約分後の分母の素因数が2だけなら有限小数になります。
また、10進数の有限小数が必ず2進数でも有限小数になるとは限りません。

解法ステップ

10進小数を分数に直す（例：0.45 → $\frac{45}{100}$ ）。
分数を約分して最も簡単な形にする（ $\frac{9}{20}$ ）。
分母の素因数分解を行う（20 = $2^{2} \times 5$ ）。
分母に2以外の素因数があれば2進数で無限小数になると判断。
選択肢ごとに同様の手順を繰り返し、該当するものを選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 0.375 → $\frac{3}{8}$ 、8は $2^{3}$ なので有限小数。誤り。
イ: 0.45 → $\frac{9}{20}$ 、20は $2^{2} \times 5$ で5があるため無限小数。正解。
ウ: 0.625 → $\frac{5}{8}$ 、8は $2^{3}$ なので有限小数。誤り。
エ: 0.75 → $\frac{3}{4}$ 、4は $2^{2}$ なので有限小数。誤り。

補足コラム

2進数で有限小数になる条件は、分数の分母が

2^{n}

の形であることです。10進数の有限小数は分母が

2^{m} \times 5^{n}

の形ですが、2進数では5の因子があると無限小数になります。これは基数の違いによる表現の違いで、コンピュータの浮動小数点誤差の原因の一つです。

FAQ

Q: なぜ0.1は2進数で無限小数になるのですか？
A: 0.1は

\frac{1}{10}

で分母に5が含まれるため、2進数では無限小数になります。

Q: 2進数で有限小数になる条件は何ですか？
A: 分母が

2^{n}

の形である分数のみが2進数で有限小数になります。

関連キーワード: 2進数、無限小数、分数の約分、素因数分解、浮動小数点誤差

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応用情報技術者 2014年 春期 午前2 問01

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