応用情報技術者 2014年 春期 午前2 問20

NANDでのOR実現【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 図の前段のNANDは、それぞれ同じ入力を両入力に与えられている。NANDに同じ信号を2つ入力すると出力は否定のみになる： $A=\overline{X\cdot X}=\overline{X}$。
2. 同様に前段右は $B=\overline{Y}$ を出力する。
3. 最終段のNANDはこれら $A,B$ を入力とし、出力は $Z=\overline{A\cdot B}=\overline{\overline{X}\cdot \overline{Y}}$。
4. ド・モルガンにより $\overline{\overline{X}\cdot \overline{Y}}=X+Y$ となるため、回路全体は論理和（OR）を表す。

選択肢別の誤答解説

• ア: $X\cdot Y$（論理積）
  この回路は前段で信号を反転しており、最終出力は反転された信号のNANDになるため直接 $X\cdot Y$ にはなりません。なお、一般にはANDはNANDゲートだけで構成可能（機能的完全性）ですが、本回路の配線はANDを表していません。
• イ: $X+Y$（論理和）
  前段がそれぞれNOT（$\overline{X},\overline{Y}$）を作り、最終段がそれらのNANDであるため、ド・モルガンにより $X+Y$ になる点で一致します。
• ウ: $\overline{X\cdot Y}$（NANDそのもの）
  単純なNAND $\overline{X\cdot Y}$ は入力XとYを直接最終段へ与えた場合に出る値です。本回路は前段で既に各入力を反転しているため、最終出力は $\overline{\overline{X}\cdot \overline{Y}}$ であり、$\overline{X\cdot Y}$ とは異なります。
• エ: $\overline{X+Y}$（NOR）
  この式はXとYの論理和を否定したものです。本回路は前述の通り最終的に $X+Y$ を出力するため、否定された形（NOR）にはなりません。補足すると、NORもNANDで構成可能ですが、配線が異なれば出力式も異なります。

よくある誤解

1. 「NANDでANDやNORは作れない」
   → 誤りです。NANDは機能的に完全（ユニバーサル）で、適切な接続によりNOT・AND・OR・NORなどを構成できます。問題は「この特定の配線が何を表すか」であり、一般論と混同しないことが重要です。
2. 「出力バブル（否定）は常に全体の否定を意味する」
   → バブルはその端で信号が反転されることを示しますが、回路全体の論理はバブルの位置と複数の反転の組み合わせで決まります。局所的な反転の数を数えて簡潔に式変形する習慣をつけてください。
3. 「NANDに同じ入力を与えると元の信号と同じになる」
   → これは誤り。NAND(X,X)=\overline{X} であり、同入力はインバータ（NOT）になります。

補足コラム

• NOT: $\overline{X}=\mathrm{NAND}(X,X)$
• AND: $X\cdot Y=\overline{\mathrm{NAND}(X,Y)}=\mathrm{NAND}(\mathrm{NAND}(X,Y),\mathrm{NAND}(X,Y))$
• OR: $X+Y=\mathrm{NAND}(\mathrm{NAND}(X,X),\mathrm{NAND}(Y,Y))$（今回の回路がまさにこれ）

• 00 → 0+0 = 0
• 01 → 0+1 = 1
• 10 → 1+0 = 1
• 11 → 1+1 = 1

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