応用情報技術者 2014年春期午前2 問20

問題文

NAND素子を用いた次の組合せ回路の出力を表す式はどれか。ここで、論理式中の“・”は論理積、“+”は論理和、

\overline{X}

はXの否定を表す。

選択肢

ア：

X \cdot Y

イ：

X + Y

（正解）

ウ：

\overline{X \cdot Y}

エ：

\overline{X + Y}

NAND素子を用いた組合せ回路の出力式【午前2 解説】

要点まとめ

結論：この回路の出力は論理和 $X + Y$ に等しいです。
根拠：NANDゲート3つの組み合わせは、De Morganの法則を利用して論理和を実現しています。
差がつくポイント：NAND回路の基本的な構成とDe Morganの法則の理解が合否を分けます。

正解の理由

この回路は、まず入力

X

と

Y

をそれぞれNANDゲートに入力し、各々の出力は

\overline{X \cdot X} = \overline{X}

と

\overline{Y \cdot Y} = \overline{Y}

となります。
次に、これらの出力を最終段のNANDゲートに入力すると、出力は

\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}}

となり、De Morganの法則より

X + Y

に等しいため、選択肢の中で正しいのはイ:

X + Y

です。

よくある誤解

NANDゲートの否定バブルを見て「単純に否定された論理積」と誤解しやすいです。実際は複数のNANDゲートの組み合わせで論理和を表現しています。

解法ステップ

入力 $X$ を2入力NANDゲートの両方に接続し、出力は $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ となることを確認。
同様に入力 $Y$ も2入力NANDゲートに接続し、出力は $\overline{Y}$ となることを確認。
これら2つの出力を最終段のNANDゲートに入力し、出力は $\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}}$ となることを理解。
De Morganの法則を用いて $\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}} = X + Y$ と変換。
選択肢の中から $X + Y$ を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $X \cdot Y$
→ NANDゲートの組み合わせで論理積を直接表すことはできません。
イ: $X + Y$
→ 正解。NANDゲート3つの組み合わせで論理和を実現。
ウ: $\overline{X \cdot Y}$
→ これは単一のNANDゲートの出力であり、回路全体の出力ではありません。
エ: $\overline{X + Y}$
→ NORゲートの出力に相当し、NANDゲートの組み合わせではありません。

補足コラム

NANDゲートは「万能ゲート」と呼ばれ、他の基本論理回路（AND, OR, NOT）をすべてNANDゲートだけで構成可能です。今回の回路はその典型例で、NOTをNANDで表現し、De Morganの法則を利用してORを実現しています。

FAQ

Q: なぜNANDゲートだけで論理和が作れるのですか？
A: NANDゲートの出力は否定された論理積であり、De Morganの法則を使うことで否定された入力の論理積を否定する形で論理和を表現できます。

Q: De Morganの法則とは何ですか？
A: 論理式の否定に関する法則で、

\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}

、

\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}

という関係を示します。

関連キーワード: NANDゲート、De Morganの法則、論理回路、組合せ回路、論理和、論理積、否定

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応用情報技術者 2014年 春期 午前2 問20

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