応用情報技術者 2015年春期午前2 問01

問題文

ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。　〔条件〕　(1) 統合後の平均サービス時間：

T_{s}

　(2) 統合前のATMの利用率：両支店とも

ρ

　(3) 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計

選択肢

ア：

\frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{S}

イ：

\frac{ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{S}

ウ：

\frac{2 ρ}{1 - ρ} \times T_{S}

エ：

\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{S}

（正解）

ATM統合後の平均待ち時間の計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論：統合後のATMの平均待ち時間は $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$ で表されます。
根拠：M/M/1待ち行列モデルで利用率が2倍に増加し、待ち時間は $\frac{ρ}{1 - ρ} T_{s}$ の式を利用率に応じて修正します。
差がつくポイント：利用率の合計と分母の「1-2\rho」の意味を正しく理解し、単純な加算ではなく待ち行列理論の式変形が必要です。

正解の理由

統合前の各ATMの利用率は

ρ

で、利用者数はそれぞれ同じです。統合後はATMが1台に減り、利用者数は2倍になるため、利用率は

2 ρ

になります。
M/M/1モデルの平均待ち時間（サービス時間を除く）は

W_{q} = \frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{s}

ですが、ここでの

ρ

は統合後の利用率

2 ρ

に置き換えられます。
したがって、平均待ち時間は

W_{q} = \frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}

となり、選択肢の中ではエが正解です。

よくある誤解

利用率を単純に足すだけでなく、分母の「1-利用率」の部分も変わることを見落としがちです。
待ち時間にサービス時間を含めない点を忘れて、 $T_{s}$ の扱いを誤ることがあります。

解法ステップ

統合前の各ATMの利用率を $ρ$ とする。
統合後はATMが1台で利用者数が2倍になるため、利用率は $2 ρ$ になる。
M/M/1待ち行列の平均待ち時間（サービス時間除く）は $W_{q} = \frac{ρ}{1 - ρ} T_{s}$ の式を使う。
$ρ$ を $2 ρ$ に置き換え、 $W_{q} = \frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} T_{s}$ を得る。
選択肢の中から該当する式を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{s}$
→ 統合後の利用率が2倍になる点を無視し、単に1台のATMの待ち時間と誤認。
イ: $\frac{ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$
→ 分母は正しいが、分子の利用率が1台分のままで、利用者数の増加を反映していない。
ウ: $\frac{2 ρ}{1 - ρ} \times T_{s}$
→ 分子は正しいが、分母が統合前のままで、利用率の増加を正しく反映していない。
エ: $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$
→ 利用率の増加を正しく反映し、M/M/1モデルの式に合致。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、単一のサービス窓口に対して到着がポアソン過程、サービス時間が指数分布に従う場合の平均待ち時間を表します。利用率

ρ

は到着率

λ

とサービス率

μ

の比

ρ = λ / μ

で、

ρ < 1

でなければ待ち時間は無限大になります。ATM統合のように利用者数が増えてもサービス台数が減る場合、利用率が増加し待ち時間が急増するため注意が必要です。

FAQ

Q: なぜ利用率は単純に2倍になるのですか？
A: 統合前の2台のATMそれぞれに同じ利用率

ρ

の利用者がいるため、利用者数は2倍になり、1台に集約すると利用率も2倍になります。

Q: サービス時間

T_{s}

は変わらないのですか？
A: 問題文の条件で統合後の平均サービス時間は

T_{s}

とされており、サービス速度は変わらないと仮定しています。

Q: 待ち時間にサービス時間は含まれますか？
A: 問題文で「平均待ち時間にはサービス時間を含まず」と明示されているため、サービス時間は除外して計算します。

関連キーワード: M/M/1待ち行列モデル、ATM統合、利用率、平均待ち時間、待ち行列理論

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