応用情報技術者 2015年春期午前2 問02

問題文

2桁の2進数

x_{1} x_{2}

表す整数を

x

とする。2進数

x_{2} x_{1}

が表す整数を

x

の式で表したものはどれか。ここで、

in t (r)

は非負の実数

r

の小数点以下を切り捨てた整数を表す。

選択肢

ア：

2 x + 4 int (\frac{x}{2})

イ：

2 x + 5 int (\frac{x}{2})

ウ：

2 x - 3 int (\frac{x}{2})

（正解）

エ：

2 x - 4 int (\frac{x}{2})

2桁の2進数の並び替えによる整数表現【午前2 解説】

要点まとめ

結論：2桁の2進数 $x_{1} x_{2}$ の整数 $x$ に対し、 $x_{2} x_{1}$ の整数は $2 x - 3 int (\frac{x}{2})$ で表せます。
根拠： $x_{1} x_{2}$ は $2 x_{1} + x_{2}$ 、 $x_{2} x_{1}$ は $2 x_{2} + x_{1}$ であり、 $x$ と $int (x /2)$ を使い式変形が可能です。
差がつくポイント： $x$ の定義と $int (x /2)$ の意味を正確に理解し、ビットの入れ替えが数値にどう影響するかを把握することが重要です。

正解の理由

2桁の2進数

x_{1} x_{2}

は整数

x = 2 x_{1} + x_{2}

で表されます。
一方、

x_{2} x_{1}

は

2 x_{2} + x_{1}

です。
ここで、

int (x /2) = x_{1}

（

x

を2で割った商は上位ビット

x_{1}

）なので、

2 x - 3 int (\frac{x}{2}) = 2 (2 x_{1} + x_{2}) - 3 x_{1} = 4 x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{1} = x_{1} + 2 x_{2}

これは

2 x_{2} + x_{1}

と同じで、

x_{2} x_{1}

の整数表現に一致します。
したがって、選択肢ウが正解です。

よくある誤解

x

の定義を「

x_{1} x_{2}

の2進数」と理解せず、

x_{1}

や

x_{2}

の役割を混同しがちです。
また、

int (x /2)

を単なる割り算の結果と誤解し、ビットの意味を見落とすことがあります。

解法ステップ

2桁の2進数 $x_{1} x_{2}$ の整数表現を確認： $x = 2 x_{1} + x_{2}$
$x_{2} x_{1}$ の整数表現を求める： $2 x_{2} + x_{1}$
$int (x /2)$ が $x_{1}$ に相当することを理解する
$2 x - 3 int (x /2)$ を展開し、 $x_{1}$ と $x_{2}$ の式に変形する
$2 x_{2} + x_{1}$ と一致することを確認し、正解を導く

選択肢別の誤答解説

ア: $2 x + 4 int (x /2)$
→ 展開すると $4 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{1} = 8 x_{1} + 2 x_{2}$ となり、 $x_{2} x_{1}$ の値と合いません。
イ: $2 x + 5 int (x /2)$
→ $4 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{1} = 9 x_{1} + 2 x_{2}$ で、正しい並び替えの値と異なります。
ウ: $2 x - 3 int (x /2)$
→ 正解。 $x_{1} + 2 x_{2}$ となり、 $x_{2} x_{1}$ の整数表現に一致します。
エ: $2 x - 4 int (x /2)$
→ $4 x_{1} + 2 x_{2} - 4 x_{1} = 2 x_{2}$ となり、 $x_{1}$ が消えてしまい誤りです。

補足コラム

2進数のビット操作は整数の割り算や剰余と密接に関連しています。
特に

int (x /2)

は2進数の右シフト1ビットに相当し、上位ビットを抽出する操作です。
この問題はビットの入れ替えが数値にどう影響するかを理解する良い練習になります。

FAQ

Q: なぜ

int (x /2)

が

x_{1}

になるのですか？
A:

x = 2 x_{1} + x_{2}

なので、

x /2 = x_{1} + x_{2} /2

。小数点以下切り捨てで

x_{1}

だけが残ります。

Q: 2桁以上の2進数でも同様の考え方で表せますか？
A: 基本的にはビットの位置と重みを理解すれば可能ですが、式は複雑になるため注意が必要です。

関連キーワード: 2進数、ビット操作、整数表現、小数点以下切り捨て、ビット入れ替え

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