応用情報技術者 2015年春期午前2 問03

問題文

製品100個を1ロットとして生産する。一つのロットからサンプルを3個抽出して検査し、3個とも良品であればロット全体を合格とする。100個中に10個の不良品を含むロットが合格と判定される確率は幾らか。

選択肢

ア：

\frac{7}{10}

イ：

\frac{178}{245}

（正解）

ウ：

\frac{729}{1000}

エ：

\frac{89}{110}

製品ロットのサンプル検査における合格判定確率【午前2 解説】

要点まとめ

結論：不良品10個を含む100個のロットから3個のサンプルが全て良品である確率は $\frac{178}{245}$ です。
根拠：母集団100個中良品90個、不良品10個の中から3個を無作為抽出し、全て良品となる組み合わせ数を計算します。
差がつくポイント：抽出は無作為かつ非復元抽出であることを理解し、組み合わせの計算を正確に行うことが重要です。

正解の理由

ロット全体100個中、良品は90個、不良品は10個です。3個のサンプルがすべて良品である確率は、良品90個から3個を選ぶ組み合わせ数を、全体100個から3個を選ぶ組み合わせ数で割ったものです。
具体的には、

P = \frac{( 3 90 )}{( 3 100 )} = \frac{90 \times 89 \times 88/6}{100 \times 99 \times 98/6} = \frac{90 \times 89 \times 88}{100 \times 99 \times 98} = \frac{178}{245}

この計算結果が選択肢イに該当します。

よくある誤解

「不良品の割合をそのまま確率とする」誤り。サンプル抽出は無作為かつ非復元であるため、単純な割合計算は不適切です。
「復元抽出の確率を使う」誤り。問題文に復元抽出の記述がないため、組み合わせ計算が正しいです。

解法ステップ

ロット全体の個数と不良品数、良品数を把握する（100個中不良10個、良品90個）。
サンプル抽出数（3個）を確認する。
「3個とも良品である」場合の組み合わせ数を計算する： $(3 90)$ 。
全体から3個を選ぶ組み合わせ数を計算する： $(3 100)$ .
確率は「良品3個の組み合わせ数」÷「全組み合わせ数」で求める。
分数を約分し、選択肢と照合する。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{7}{10}$
不良品率の逆数や単純な割合計算に基づく誤り。組み合わせ計算を無視している。
イ: $\frac{178}{245}$
正解。組み合わせ計算に基づく正確な確率。
ウ: $\frac{729}{1000}$
復元抽出（独立試行）で良品率0.9を3回掛けた確率 $0. 9^{3} = 0.729$ に近いが、問題は非復元抽出。
エ: $\frac{89}{110}$
不良品数や良品数の単純な割合を誤用した可能性が高い。

補足コラム

この問題は「超幾何分布」の基本的な応用例です。超幾何分布は母集団から無作為に非復元抽出したときの成功数の確率分布を表します。
復元抽出の場合は二項分布を用いますが、今回のようにロット検査では非復元抽出が一般的です。
また、サンプル数が母集団に比べて非常に小さい場合は、二項分布で近似することもありますが、正確な計算は超幾何分布を使うべきです。

FAQ

Q: なぜ復元抽出ではなく非復元抽出を使うのですか？
A: 実際の検査では同じ製品を複数回検査しないため、抽出した製品は戻さずに検査する非復元抽出が一般的です。

Q: 超幾何分布とは何ですか？
A: 母集団から無作為に非復元抽出したとき、特定の属性を持つ要素の数の確率分布を表す統計モデルです。

Q: サンプル数が多い場合も同じ計算方法ですか？
A: はい。ただしサンプル数が母集団に近い場合は計算が複雑になるため、注意が必要です。

関連キーワード: 超幾何分布、非復元抽出、組み合わせ、確率計算、ロット検査

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応用情報技術者 2015年 春期 午前2 問03

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