応用情報技術者 2016年 春期 午前2 問03

M/M/1の成立条件【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. M/M/1の主要前提を整理する：
   • 到着はポアソン過程（到着間隔は指数分布）
   • サービス時間は独立同分布の指数分布（メモリレス）
   • 単一サーバ（1台のプリンタ）
   • 通常は先着順（FCFS）
   • バッファは無限（到着は原則受け入れる）
2. 各選択肢が上のどれと矛盾するかを順に確認する。
3. 矛盾がなければその選択肢はM/M/1の条件に「反しない」と判定する。

選択肢別の誤答解説

• ア: 「一部のクライアントはプリンタの空き具合を見てから要求する」
  → 到着がシステム状態に依存するため、独立したポアソン到着という前提を壊します。ポアソン過程では到着は過去の状態に依存せずランダムに発生するため、アはM/M/1に反します。
• イ: 「緊急性や印刷量にかかわらず先着順に印刷する」
  → 先着順（FIFO／FCFS）はM/M/1で通常想定されるサービス順序です。サービス時間の分布や到着過程に関する矛盾がないため、M/M/1の前提に反しません。
• ウ: 「待ち文書の総量がバッファサイズを超えるときは一時的に受付を中断する」
  → M/M/1は通常、到着の受け入れを仮定（無限バッファ）します。受付を中断（finite capacity／遮断）するとM/M/1ではなくM/M/1/K（有限容量）や損失系のモデルになり、前提に反します。
• エ: 「1要求の所要時間が一定時間＋印刷量に比例する時間の合計」
  → この記述はサービス時間が決定論的な成分や印刷量依存の変動を持つことを示しており、一般にはサービス時間が指数分布（メモリレス）であるという前提を満たしません。よってM/M/1の前提に反します。

よくある誤解

1. 「到着もサービスも両方がポアソン過程である」
   → 到着はポアソン過程（ある区間の到着数がポアソン分布、間隔は指数分布）ですが、サービスは「ポアソン過程」ではなく「サービス時間が指数分布（i.i.d.）」である、という表現が正確です。サービス時間が指数分布であることがメモリレス性の本質です。
2. 「先着順でなければM/M/1でない」
   → M/M/1解析では通常FCFSを仮定しますが、指数分布のサービス時間を仮定すると、非プリエンプティブかつワークコンザービング（サーバが遊ばない）なサービス規律では平均的な性能指標が到着・サービス率のみで決まりやすい、という性質があります。ただし問題文で「先着順」と明示されていることはM/M/1の典型的な想定と一致します。
3. 「バッファが有限なら少しの違いしかない」
   → 容量制限があると到着が遮断・破棄されるため性能式が変わり、M/M/1の結果は使えません（M/M/1/KやM/M/∞などの別モデルになります）。

補足コラム

• 利用率（トラフィック強度） $\rho =\frac{\lambda }{\mu }$
• 系内平均人数 $L=\frac{\rho }{1-\rho }$
• 待ち行列平均人数（待ち） $L_q=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }$
• 系内平均滞在時間 $W=\frac{1}{\mu -\lambda }$（Littleの法則$L=\lambda W$より）
• 待ち時間の平均 $W_q=\frac{\rho }{\mu -\lambda }$

import numpy as np

lambda_rate = 0.8
mu = 1.0
n = 100000
interarrivals = np.random.exponential(1/lambda_rate, n)
services = np.random.exponential(1/mu, n)
# 到着時刻とサービス時間の配列（簡易）
arrivals = np.cumsum(interarrivals)

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