応用情報技術者 2017年 秋期 午前2 問75

高速道路の交通情報を活用した平均所要時間の計算【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：交通情報が「順調」のときの平均所要時間は約66分となる。
• 根拠：ベイズの定理で「順調」時の高速道路の混雑確率を求め、期待値を計算する。
• 差がつくポイント：交通情報の信頼度を正しく理解し、条件付き確率を用いて計算できるかが鍵。

正解の理由

• $P(\text{混雑})=0.4$
• $P(\text{順調}|\text{混雑})=0.1$
• $P(\text{順調}|\text{混雑していない})=0.8$
• $P(\text{混雑していない})=0.6$
  $P(\text{順調})$は全確率の法則より、 $P(\text{順調})=0.1\times 0.4+0.8\times 0.6=0.04+0.48=0.52$
  よって、 $P(\text{混雑}|\text{順調})=\frac{0.1\times 0.4}{0.52}=\frac{0.04}{0.52}\approx 0.0769$
  混雑していない確率は $1-0.0769=0.9231$。
  期待所要時間は、 $0.0769\times 100+0.9231\times 50=7.69+46.15=53.84\text{分}$
  しかし、問題文では「順調」なら高速道路を利用し、「渋滞」なら一般道路を利用します。
  交通情報が「順調」の場合は高速道路利用で約53.8分。
  交通情報が「渋滞」の場合は一般道路利用で80分。
  交通情報が「順調」と「渋滞」の発表確率は、 $P(\text{順調})=0.52,P(\text{渋滞})=1-0.52=0.48$
  したがって、平均所要時間は、 $0.52\times 53.84+0.48\times 80=27.98+38.4=66.38\text{分}$
  これが選択肢の中で最も近い「イ」の66分となります。

よくある誤解

解法ステップ

1. 高速道路の混雑確率 $P(\text{混雑})=0.4$、非混雑確率 $0.6$ を確認。
2. 交通情報の条件付き確率表から $P(\text{順調}|\text{混雑})=0.1$、$P(\text{順調}|\text{非混雑})=0.8$ を読み取る。
3. 全確率の法則で $P(\text{順調})$ を計算。
4. ベイズの定理で $P(\text{混雑}|\text{順調})$ を求める。
5. 「順調」時の期待所要時間を計算（混雑時100分、非混雑時50分の加重平均）。
6. 「渋滞」時は一般道路利用で80分とする。
7. 交通情報の発表確率 $P(\text{順調})$ と $P(\text{渋滞})$ を用いて全体の期待所要時間を計算。
8. 最も近い選択肢を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• ア（62分）：交通情報の条件付き確率を正しく使わず、単純な加重平均で計算した結果。
• イ（66分）：正解。ベイズの定理を用いて条件付き確率を計算し、期待値を正確に求めている。
• ウ（68分）：混雑確率の計算や交通情報の発表確率の扱いに誤りがある可能性が高い。
• エ（72分）：一般道路の所要時間を過大評価し、交通情報の信頼度を考慮していない計算ミス。

補足コラム

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