応用情報技術者 2017年 春期 午前2 問02

$(1+\alpha {)}^n$の近似計算条件【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：$(1+\alpha {)}^n$を$1+n\times \alpha$で近似するには、$|\alpha |$が非常に小さいことが必要です。
• 根拠：二項定理の展開で高次の項が無視できるほど$\alpha$が小さい場合、一次の項だけで十分近似できます。
• 差がつくポイント：$\alpha$の大きさと$n$の関係を正しく理解し、誤って$n$や$nx\alpha$の大きさに注目しないことが重要です。

正解の理由

よくある誤解

• $n$が大きければ$\alpha$が大きくても近似できると誤解しやすいです。
• $|nx\alpha |$の大きさが条件と勘違いし、誤った近似を行うことがあります。

解法ステップ

1. $(1+\alpha {)}^n$の二項展開を思い出す。
2. 近似式$1+n\alpha$は一次の項までの展開であることを理解する。
3. 高次の項を無視できる条件は$|\alpha |$が非常に小さいこと。
4. 選択肢の中で$|\alpha |$の大きさに注目し、最も適切なものを選ぶ。
5. 他の選択肢は条件として不適切であることを確認する。

選択肢別の誤答解説

• イ: $|\alpha |$が$n$に比べて非常に大きいは誤り。$\alpha$が大きいと高次の項が無視できず近似できない。
• ウ: $|\alpha ÷n|$が1より大きいは意味が不明瞭で、近似条件として不適切。
• エ: $|nx\alpha |$が1より大きいは逆で、$n\alpha$が大きいと近似は悪化するため誤り。
• ア: $|\alpha |$が1に比べて非常に小さいは正解。

補足コラム

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