応用情報技術者 2018年 秋期 午前2 問23

1ビット加算回路（半加算器）【午前2解説】

正解の理由

• 桁上がり $X=A\wedge B$、
• 1桁目の和 $Y=A\oplus B$（排他的論理和）が必要です。

解法ステップ

1. 要求される論理式を確認する
   • carry（桁上がり）: $X=A\wedge B$
   • sum（和の1桁）: $Y=A\oplus B$
2. 排他的論理和の変形を行う（実装に使いやすい形へ）
   • $A\oplus B=(A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$ または $=(A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)$
3. 回路図と照合する
   • 上段がANDなら $X=A\wedge B$（条件を満たす）→ 候補はアとエ
   • 下段がORで、かつ下段の入力が $A$ と $B$ に加えて $\neg X$ と組合わされている構成（$A\wedge \neg X$、$B\wedge \neg X$ をOR）であれば $Y=A\oplus B$ になる → アが一致

選択肢別の誤答解説

• イ
  • 上段がORなので $X=A\vee B$ になり、桁上がりの定義 $A\wedge B$ と合わない。よって誤り。
• ウ
  • 上段がORで $X=A\vee B$、下段がANDで $Y=A\wedge B$ になるため、$X$ と $Y$ が逆／誤った関係となる。誤り。
• エ
  • 上段はANDで $X=A\wedge B$ は正しいが、下段ORの入力が単に $A,B$ であれば $Y=A\vee B$ となり、和（排他的和）とは異なる。誤り。

よくある誤解

• 「和は単に A∨B だ」と考える誤り
  • 加算の1桁目（キャリー無視の和）は排他的論理和であり、A∨B とは異なります。A∨B は「どちらかまたは両方が1」の判定で、両方1のとき（A=B=1）で違いが出ます。
• 図中の束線を単なる分岐（同一信号の複数接続）と誤解する
  • 問題図では束線が複数の信号の合成（あるいは省略記号）を示すことがあり、論理的に何が入力されているかを式で整理して確認する必要があります。
• X を先に決めずに Y を判断してしまうミス
  • Y の式は $X$（=A∧B）を用いる形にも変形できるため、まず $X$ を確定してから $Y$ の実現方法を考えるとミスが減ります。

補足コラム

• 半加算器（half-adder）と全加算器（full-adder）
  • 半加算器は2つの1ビット入力の和と桁上がりを出す回路（今回の問題）で、出力は sum = A⊕B、carry = A∧B。
  • 全加算器は桁上がり入力（前段からのキャリー）も扱い、3入力の和を計算します。全加算器は半加算器2個とORで構成できます。
• XOR の実装バリエーション
  • 基本形: $A\oplus B=(A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)$
  • 別形: $A\oplus B=(A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$（今回の回路はこの形を用いて実現しています）

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