応用情報技術者 2019年秋期午前2 問01

問題文

あるホテルは客室を1,000部屋もち、部屋番号は、数字4と9 を使用しないで0001から順に数字4桁の番号としている。部屋番号が0330の部屋は、何番目の部屋か。

ア：204

イ：210

ウ：216（正解）

エ：218

0330の各桁は0,3,3,0で、使用可能な数字は0,1,2,3,5,6,7,8の8種類です。
これを0〜7の数字に置き換え、8進数として計算すると、0330は

0 \times 8^{3} + 3 \times 8^{2} + 3 \times 8^{1} + 0 \times 8^{0} = 0 + 192 + 24 + 0 = 216

番目となります。
したがって、正解はウの216です。

4と9を除く数字を単に10進数として扱い、計算してしまう誤りがあります。
また、部屋番号をそのままの数字として順序を考えると間違えやすいです。

使用可能な数字は0,1,2,3,5,6,7,8の8種類と確認する。
各数字を0〜7の数字に置き換える（例：0→0、1→1、2→2、3→3、5→4、6→5、7→6、8→7）。
部屋番号0330の各桁を対応する数字に変換する（0→0、3→3、3→3、0→0）。
8進数として計算する： $0 \times 8^{3} + 3 \times 8^{2} + 3 \times 8^{1} + 0 \times 8^{0} = 216$ 。
これが0330の部屋番号の順序（216番目）であると判断する。

この問題は「数字制限付きの番号付け」を8進数換算で解く典型例です。
数字4と9を除く8種類の数字は、実質的に基数8の数字セットと同じ扱いができ、計算を簡単にします。
同様の問題は、異なる数字制限や文字制限でも基数変換の考え方で解決可能です。

Q: なぜ4と9を除くと8進数になるのですか？
A: 4と9を除くと使える数字は8種類で、基数（進数）の概念で考えると8進数と同じ扱いになるためです。

Q: 部屋番号0001は何番目になりますか？
A: 0001は

0 \times 8^{3} + 0 \times 8^{2} + 0 \times 8^{1} + 1 \times 8^{0} = 1

番目です。

関連キーワード: 部屋番号、進数変換、数字制限、基数変換、順序計算

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